微积分笔记

1. 极限和连续

1. 函数

1. 定义

函数是描述两个集合之间关系的一种规则或映射。具体来说，函数将一个集合中的每个元素唯一地映射到另一个集合中的某个元素：

$$f: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$$

其中：

• $\mathbf{X}$ 是定义域，表示所有可以输入的值的集合
• $\mathbf{Y}$ 是值域，表示输出的所有可能结果的集合
• $f$ 是函数本身，它描述了输入与输出之间的关系

对于每个 $x \in \mathbf{X}$，通过函数 $f$ 能找到唯一的 $y \in \mathbf{Y}$，我们称 $y = f(x)$，即 $y$ 是 $x$ 经过 $f$ 的映射后得到的结果

2. 奇偶性

一个函数 $f(x)$ 如果对于定义域中的所有 $x$ 满足 $f(-x) = f(x)$，则称 $f(x)$ 是一个偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称

一个函数 $f(x)$ 如果对于定义域中的所有 $x$ 满足 $f(-x) = -f(x)$，则称 $f(x)$ 是一个奇函数，其图像关于原点轴对称

3. 指数函数

设 $a$ 是不等于 1 的正实数，函数 $f(x) = x^a$ 是底为 $a$ 的指数函数

4. 反函数

如果一个函数 $f$ 将集合 $\mathbf{X}$ 中的每个元素 $x$ 映射到几何 $\mathbf{Y}$ 中的唯一元素 $y$，即 $f : \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$，并且存在另一个函数 $g:\mathbf{Y} \rightarrow \mathbf{X}$，使得：

$$g(f(x)) = x \quad \text{且} \quad f(g(y)) = y$$

那么函数 $g$ 称为 $f$ 的反函数，记作 $f^{-1}$

反函数的存在条件：

1. 函数必须是单射（Injective）

   即对于定义域中的任意不同的两个元素 $x_1$ 和 $x_2$ 有：$f(x_1) \neq f(x_2)$，单射保证了不同的输入映射到不同的输出，从而反函数的映射是唯一的

2. 函数必须是满射（Surjective）

   即对于值域中的每个元素 $y \in \mathbf{Y}$，都存在定义域中的某个 $x \in \mathbf{X}$ 使得 $f(x) = y$，满射保证了反函数 $f^{-1}$ 的定义域和值域是完整的，使得每个输出都有相应的输入

如果函数 $f$ 同时满足单射和满射的条件，则称 $f$ 是双射函数

反函数的性质：

1. 对称性

   函数 $f$ 和它的反函数 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。这是因为反函数将 $x$ 和 $y$ 的角色互换了

2. 复合性

   如果 $f(x)$ 有反函数 $f^{-1}(x)$，那么对于任意 $x$ 满足：

   $$f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{且} \quad f^{-1}(f(x)) = x$$

5. 对数函数

若 $a$ 是任何不为 1 的正实数，以 $a$ 为底的指数函数 $f(x) = a^x$ 存在反函数。它的反函数称为底为 $a$ 的对数函数，记为 $f(x) = \log_{a}x$

以 $e$ 为底的对数函数记为 $f(x) = \ln{x}$，以 10 为底的对数记为 $f(x) = \log{x}$。

底变换公式

利用指数和对数的代数性质，有：

$$\ln{x} = \ln{a}^{\log_{a}x} = (\log_{a}x)(\ln{a})$$

即：$\log_{a} = \frac{\ln{x}}{\ln{a}}$

6. 三角函数

基本三角函数

记从原点出发引射线 $l$ 与圆心在原点 $O$ 单位半径为 $r$ 的园交于点 $P(x, y)$，与 $x$ 轴的正方向的夹角为 $\theta$。则 $\theta$ 的基本三角函数为：

$$\sin{\theta} = \frac{y}{r} \quad \cos{\theta} = \frac{x}{r}$$

$$\tan{\theta} = \frac{y}{x} \quad \cot{\theta} = \frac{x}{y}$$

$$\sec{\theta} = \frac{r}{x} \quad \csc{\theta} = \frac{r}{y}$$

周期函数

如果函数 $f(x)$存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内所有 $x$ 满足：

$$f(x + T) = f(x)$$

那么我们称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为其周期。其中满足条件的最小正数 $T$ 被称为最小正周期。

$\sin{x}$，$\cos{x}$，$\sec{x}$，$\csc{x}$ 的周期为 $2\pi$，$\tan{x}$，$\cot{x}$ 的周期为 $\pi$。

三角函数公式

• 毕达哥拉斯恒等式：

  $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

  根据这个公式，可以得到：

  $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$

• 倒数关系

  $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

  $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$

  $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

• 和角公式

  $$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

  $$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$

  $$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \quad (\tan A \tan B \neq 1)$$

• 余弦定理

  如果 $a, b, c$ 是三角形的三边，$\theta$ 是 $c$ 边的对角，那么：

  $$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\theta}$$

反三角函数

反三角函数是求出角度的函数，用于得到给定三角函数值所对应的角度

三角函数在定义域内并不是单射，即并不满足每个值对应唯一角度。因此，为了定义反函数，反三角函数需要限定在一个特定的范围内，以确保唯一性。

反三角函数	定义域	值域
$\arcsin{x}$	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\arccos{x}$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\arctan{x}$	$(-\infin, \infin)$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

反正割，反余割，反余切未列表

2. 参数方程

参数曲线（parametric curves）和参数方程（parametric equations）是使用一个或多个参数来描述几何曲线的一种方法。

参数方程通过一个或多个参数来描述曲线上的点。例如，设定一个参数 $t$ 表示曲线上各个点的变化量，点的 $x$ 和 $y$ 坐标分别是 $t$ 的函数：

$$\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$$

点集 $(x, y) = (f(t), g(t))$ 是一条参数曲线。

这种定义方法适用于二维平面中的曲线，如果在三维空间中则增加一个 $z$ 坐标函数 $z=h(t)$。

3. 极限

1. 极限定义

邻域

• 设 $c$ 是一个实数，$\mathbf{O}$ 是一个实数的集合
• 如果存在正实数 $s$，使得区间 $(c - s, c + s) \subset \mathbf{O}$，则称 $\mathbf{O}$ 是 $c$ 的一个邻域
• 如果存在正实数 $s$，使得区间 $(c - s, c) \cup (c, c + s) \subset \mathbf{O}$，则称 $\mathbf{O}$ 是 $c$ 的一个去心邻域

函数极限

• 设 $f : D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是定义在实数域的一个子集 $D$ 上，值域为 $\mathbb{R}$

• $L$ 是一个给定的实数，$c$ 是一个实数，并且函数 $f$ 在 $c$ 的某个去心邻域内有定义

• 如果对任意正实数 $\epsilon$，都存在一个正实数 $\delta$， 使得对于任意满足 $0 < |x - c| < \delta$ 的 $x$ 值，都有 $|f(x) - L| < \epsilon$，那么称 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限为 $L$，记作：

  $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

  可以简单地表述为：

  $$\lim_{x \to c} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exist \delta > 0, \text{当} \ 0 < |x - c| < \delta \ \text{时}, \text{有} \ |f(x) - L| < \epsilon$$

• 上述定义描述了自变量趋于某一点的极限，类似地，可定义趋于无穷的极限：

  $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists M > 0, \text{当} x > M \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$$

  $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists M > 0, \text{当 } x < -M \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$$

单侧极限

单侧极限是指函数在某一点附近从单侧（左侧或右侧）逼近时的极限值。

左极限：

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } c - \delta < x < c \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$$

右极限：

$$\lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } c < x < c + \delta \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$$

2. 极限性质

唯一性

极限存在：当一个函数趋于某点或无穷时，它的极限值是一个确定的，唯一的数。而不是无界（发散、趋于无穷），振荡，或者左右极限不一致。

如果函数某处的极限存在，则该极限唯一。

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证明：

假设 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时有两个极限 $L_1$ 和 $L_2$，且 $L_1 \neq L_2$。

$$\lim_{x \to a} f(x) = L_1 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to a} f(x) = L_2$$

根据极限的定义：

对于任意 $\epsilon > 0$，存在一个 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，满足：

$$|f(x) - L_1| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$$

同样，存在一个 $\delta_2 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，满足：

$$|f(x) - L_2| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$$

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，同时满足：

$$|f(x) - L_1| < \frac{|L_1 - L_2|}{2} \quad \text{和} \quad |f(x) - L_2| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$$

利用三角不等式：

$$|L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x) - L_2| \leq |L_1 - f(x)| + |f(x) - L_2|$$

代入上述条件：

$$|L_1 - L_2| \leq \frac{|L_1 - L_2|}{2} + \frac{|L_1 - L_2|}{2} = |L_1 - L_2|$$

由于 $|L_1 - L_2| > 0$，但推导的结果显示 $|L_1 - L_2| \leq |L_1 - L_2|$，矛盾

因此，假设 $L_1 \neq L_2$ 是错误的，即极限值 $L$ 是唯一的

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局部有界性

如果函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限存在为 $L$，则函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 的邻域内是局部有界的。

具体地，局部有界性是指：存在 $x=a$ 的一个去心邻域 $U(a, \delta) = {x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta }$，以及某个正数 $M > 0$，使得对于所有 $x \in U(a, \delta)$，都有

$$|f(x)| \leq M$$

通俗地说，只要 $x$ 离 $a$ 足够近时，$f(x)$ 的值和 $L$ 就会足够接近，所以不可能发散。$f(x)$ 在 $a$ 附近的点必然小于一个大于 $L$ 的常数 $M$。

保号性

如果函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限存在为 $L$（其中 $L \neq 0$），则称 $f(x)$ 在 $x \to a$ 的过程中具有保号性。

具体是指：存在 $x=a$ 的一个去心邻域 $U(a, \delta) = {x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta }$，使得在这个邻域内，$f(x)$ 的符号与 $L$ 相同。

当 $L = 0$ 时，函数的符号可能发生变化，保号性不再适用

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证明：

根据极限的定义，若

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \neq 0$$

则对于任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，

$$|f(x) - L| < \varepsilon$$

令 $\varepsilon = \frac{|L|}{2}$，则有

$$|f(x) - L| < \frac{|L|}{2}$$

由三角不等式可得：

$$|f(x)| \geq |L| - |f(x) - L| > |L| - \frac{|L|}{2} = \frac{|L|}{2}$$

因此，当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x)$ 与 $L$ 的符号一致，即函数 $f(x)$ 保号性成立

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夹逼定理

设函数 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 在某点 $x_0$ 的邻域内定义，且满足以下条件：

• 在 $x_0$ 的某邻域内（去掉 $x_0$ 本身），有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
• $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$

则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

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证明：

已知 $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$ 和 $\lim_{x \to x_0} h(x) = L$。对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$ 和 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时， $|g(x) - L| < \varepsilon$；当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，$|h(x) - L| < \varepsilon$。

令 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$L - \varepsilon < g(x) < L + \varepsilon$ 和 $L - \varepsilon < h(x) < L + \varepsilon$。

因为 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，故对任意 $x$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta$，有：

$$L - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < L + \varepsilon$$

所以，$|f(x) - L| < \varepsilon$，根据极限的定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$，得证。

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3. 无穷大与无穷小

无穷小

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$) 时极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$) 时的无穷小

在自变量的同一变化过程中 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$) 中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x) = A + \alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小

无穷大

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义

4. 运算法则

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x$ 趋于某一点 $c$ 时有（有限的）极限：$\lim_{x\to c} f(x) = L_1$, $\lim_{x \to c} g(x) = L_2$，那么：

1. $\lim_{x \to c}{[f(x) g(x)]}$