1. 极限和连续

1. 函数

1. 定义

函数是描述两个集合之间关系的一种规则或映射。具体来说，函数将一个集合中的每个元素唯一地映射到另一个集合中的某个元素：

$f: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$

其中：

$\mathbf{X}$ 是定义域，表示所有可以输入的值的集合
$\mathbf{Y}$ 是值域，表示输出的所有可能结果的集合
$f$ 是函数本身，它描述了输入与输出之间的关系

对于每个 $x \in \mathbf{X}$ ，通过函数 $f$ 能找到唯一的 $y \in \mathbf{Y}$ ，我们称 $y = f(x)$ ，即 $y$ 是 $x$ 经过 $f$ 的映射后得到的结果。

函数是一种映射。设 $f$ 是从集合 $\mathbf{X}$ 到集合 $\mathbf{Y}$ 的映射：

若对 $\mathbf{X}$ 中任意两个不同元素 $x_1 \neq x_2$ 都有 $f(x_1) \neq f(x_2)$ ，则称 $f$ 为 $\mathbf{X}$ 到 $\mathbf{Y}$ 的单射

若 $\mathbf{Y}$ 中任一元素 $y$ 都能找到 $\mathbf{X}$ 中的某元素与之对应，则称 $f$ 为 $\mathbf{X}$ 到 $\mathbf{Y}$ 的满射

若同时满足单射和满射，则称 $f$ 为 $\mathbf{X}$ 到 $\mathbf{Y}$ 的双射。此时 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 中的元素一一对应

2. 特性

1. 有界性

如果存在 $K_1$ 使得函数 $f(x)$ 对于定义域中的所有 $x$ 都满足 $f(x) ≤ K_1$ ，那么称 $f(x)$ 有上界，上界为 $K_1$ 。

如果存在 $K_2$ 使得函数 $f(x)$ 对于定义域中的所有 $x$ 都满足 $f(x) ≥ K_2$ ，那么称 $f(x)$ 有下界，下界为 $K_2$ 。

如果存在 $K$ 使得函数 $f(x)$ 对于定义域中所有的 $x$ 都满足 $|f(x)| ≤ K$ ，那么称 $f(x)$ 有界；如果不存在，则称 $f(x)$ 无界。

2. 单调性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{D}$ ，区间 $\mathbf{I} \in \mathbf{D}$ ：

如果对于区间 $\mathbf{I}$ 上任意两点 $x_1$ 、 $x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，那么称 $f(x)$ 是单调递增的。
如果对于区间 $\mathbf{I}$ 上任意两点 $x_1$ 、 $x_2$ ，当 $x_1 > x_2$ 时，恒有 $f(x_1) > f(x_2)$ ，那么称 $f(x)$ 是单调递减的。

3. 奇偶性

一个函数 $f(x)$ 如果对于定义域中的所有 $x$ 满足 $f(-x) = f(x)$ ，则称 $f(x)$ 是一个偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。

一个函数 $f(x)$ 如果对于定义域中的所有 $x$ 满足 $f(-x) = -f(x)$ ，则称 $f(x)$ 是一个奇函数，其图像关于原点轴对称。

4. 周期性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{D}$ ，如果存在一个正数 $l$ ，使得对任一 $x \in \mathbf{D}$ 有 $(x ± l) \in \mathbf{D}$ ，且 $f(x + l) = f(x)$ 恒成立，那么称 $f(x)$ 为周期函数， $l$ 为 $f(x)$ 的周期。

通常我们说周期函数的周期是指最小正周期

3. 反函数

如果一个函数 $f$ 将集合 $\mathbf{X}$ 中的每个元素 $x$ 映射到几何 $\mathbf{Y}$ 中的唯一元素 $y$ ，即 $f : \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$ ，并且存在另一个函数 $g:\mathbf{Y} \rightarrow \mathbf{X}$ ，使得：

$g(f(x)) = x \quad \text{且} \quad f(g(y)) = y$

那么函数 $g$ 称为 $f$ 的反函数，记作 $f^{-1}$

反函数的存在条件：

函数必须是单射（Injective）

即对于定义域中的任意不同的两个元素 $x_1$ 和 $x_2$ 有： $f(x_1) \neq f(x_2)$ ，单射保证了不同的输入映射到不同的输出，从而反函数的映射是唯一的
函数必须是满射（Surjective）

即对于值域中的每个元素 $y \in \mathbf{Y}$ ，都存在定义域中的某个 $x \in \mathbf{X}$ 使得 $f(x) = y$ ，满射保证了反函数 $f^{-1}$ 的定义域和值域是完整的，使得每个输出都有相应的输入

反函数的性质：

对称性

函数 $f$ 和它的反函数 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。这是因为反函数将 $x$ 和 $y$ 的角色互换了
复合性

如果 $f(x)$ 有反函数 $f^{-1}(x)$ ，那么对于任意 $x$ 满足：

$f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{且} \quad f^{-1}(f(x)) = x$

4. 复合函数

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $\mathbf{D_f}$ ，函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $\mathbf{D_g}$ ，且其值域 $\mathbf{R_g }\subset \mathbf{D_f}$ ，则由下式确定的函数

$y=f[g(x)], \quad x \in \mathbf{D_g}$

称为由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数，它的定义域为 $\mathbf{D_g}$ ，变量 $u$ 称为中间变量。

函数 $g$ 与函数 $f$ 构成的复合函数，即按“先 $g$ 后 $f$ ”的次序复合的函数，通常记为 $f \circ g$ ，即

$(f \circ g)(x) = f[g(x)]$

5. 初等函数

1. 幂函数

设 $a$ 为常数，幂函数的标准形式为 $f(x) = a^x$ 。

2. 指数函数

设 $a$ 是不等于 1 的正实数，函数 $f(x) = x^a$ 是底为 $a$ 的指数函数。

3. 对数函数

若 $a$ 是任何不为 1 的正实数，以 $a$ 为底的指数函数 $f(x) = a^x$ 存在反函数。它的反函数称为底为 $a$ 的对数函数，记为 $f(x) = \log_{a}x$ 。

以 $e$ 为底的对数函数记为 $f(x) = \ln{x}$ ，以 10 为底的对数记为 $f(x) = \log{x}$ 。

运算性质：

性质名称	数学表达式 (a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0)
积的对数	$\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
商的对数	$\log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$
幂的对数	$\log_a M^n = n \log_a M$
方根的对数	$\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$
换底公式	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (c > 0, c \neq 1)$
倒数性质	$\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad (b > 0, b \neq 1)$
复合链式	$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d = \log_a d$
同幂性质	$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$
对数恒等式	$a^{\log_a N} = N$

4. 三角函数

基本三角函数

记从原点出发引射线 $l$ 与圆心在原点 $O$ 单位半径为 $r$ 的园交于点 $P(x, y)$ ，与 $x$ 轴的正方向的夹角为 $\theta$ 。则 $\theta$ 的基本三角函数为：

$\sin{\theta} = \frac{y}{r} \quad \cos{\theta} = \frac{x}{r}$

$\tan{\theta} = \frac{y}{x} \quad \cot{\theta} = \frac{x}{y}$

$\sec{\theta} = \frac{r}{x} \quad \csc{\theta} = \frac{r}{y}$

三角函数公式

毕达哥拉斯恒等式：

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

根据这个公式，可以得到：

$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
倒数关系

$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$
和角公式

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \quad (\tan A \tan B \neq 1)$
余弦定理

如果 $a, b, c$ 是三角形的三边， $\theta$ 是 $c$ 边的对角，那么：

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\theta}$

反三角函数

反三角函数是求出角度的函数，用于得到给定三角函数值所对应的角度

三角函数在定义域内并不是单射，即并不满足每个值对应唯一角度。因此，为了定义反函数，反三角函数需要限定在一个特定的范围内，以确保唯一性。

反三角函数	定义域	值域
$\arcsin{x}$	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\arccos{x}$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\arctan{x}$	$(-\infty, \infty)$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$\operatorname{arccot}{x}$	$(-\infty, \infty)$	$(0, \pi)$
$\operatorname{arcsec}{x}$	$(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$	$[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$
$\operatorname{arccsc}{x}$	$(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$	$[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$

2. 极限

1. 极限定义

邻域

设 $c$ 是一个实数， $\mathbf{O}$ 是一个实数的集合
如果存在正实数 $s$ ，使得区间 $(c - s, c + s) \subset \mathbf{O}$ ，则称 $\mathbf{O}$ 是 $c$ 的一个邻域
如果存在正实数 $s$ ，使得区间 $(c - s, c) \cup (c, c + s) \subset \mathbf{O}$ ，则称 $\mathbf{O}$ 是 $c$ 的一个去心邻域

函数极限

设 $f : D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是定义在实数域的一个子集 $D$ 上，值域为 $\mathbb{R}$
$L$ 是一个给定的实数， $c$ 是一个实数，并且函数 $f$ 在 $c$ 的某个去心邻域内有定义
如果对任意正实数 $\epsilon$ ，都存在一个正实数 $\delta$ ，使得对于任意满足 $0 < |x - c| < \delta$ 的 $x$ 值，都有 $|f(x) - L| < \epsilon$ ，那么称 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限为 $L$ ，记作：

$\lim_{x \to c} f(x) = L$

可以简单地表述为：

$\lim_{x \to c} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exist \delta > 0, \text{当} \ 0 < |x - c| < \delta \ \text{时}, \text{有} \ |f(x) - L| < \epsilon$
上述定义描述了自变量趋于某一点的极限，类似地，可定义趋于无穷的极限：

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists M > 0, \text{当} x > M \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists M > 0, \text{当 } x < -M \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$

单侧极限

单侧极限是指函数在某一点附近从单侧（左侧或右侧）逼近时的极限值。

左极限：

$\lim_{x \to c^-} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } c - \delta < x < c \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$

右极限：

$\lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } c < x < c + \delta \text{ 时，有 } |f(x) - L| < \epsilon$

2. 极限性质

唯一性

极限存在：当一个函数趋于某点或无穷时，它的极限值是一个确定的，唯一的数。而不是无界（发散、趋于无穷），振荡，或者左右极限不一致。

如果函数某处的极限存在，则该极限唯一。

证明：

假设 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时有两个极限 $L_1$ 和 $L_2$ ，且 $L_1 \neq L_2$ 。

$\lim_{x \to a} f(x) = L_1 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to a} f(x) = L_2$

根据极限的定义：

对于任意 $\epsilon > 0$ ，存在一个 $\delta_1 > 0$ ，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，满足：

$|f(x) - L_1| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$

同样，存在一个 $\delta_2 > 0$ ，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，满足：

$|f(x) - L_2| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ ，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，同时满足：

$|f(x) - L_1| < \frac{|L_1 - L_2|}{2} \quad \text{和} \quad |f(x) - L_2| < \frac{|L_1 - L_2|}{2}$

利用三角不等式：

$|L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x) - L_2| \leq |L_1 - f(x)| + |f(x) - L_2|$

代入上述条件：

$|L_1 - L_2| \leq \frac{|L_1 - L_2|}{2} + \frac{|L_1 - L_2|}{2} = |L_1 - L_2|$

由于 $|L_1 - L_2| > 0$ ，但推导的结果显示 $|L_1 - L_2| \leq |L_1 - L_2|$ ，矛盾

因此，假设 $L_1 \neq L_2$ 是错误的，即极限值 $L$ 是唯一的

局部有界性

如果函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限存在为 $L$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 的邻域内是局部有界的。

具体地，局部有界性是指：存在 $x=a$ 的一个去心邻域 $U(a, \delta) = {x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta }$ ，以及某个正数 $M > 0$ ，使得对于所有 $x \in U(a, \delta)$ ，都有

$|f(x)| \leq M$

通俗地说，只要 $x$ 离 $a$ 足够近时， $f(x)$ 的值和 $L$ 就会足够接近，所以不可能发散。 $f(x)$ 在 $a$ 附近的点必然小于一个大于 $L$ 的常数 $M$ 。

保号性

如果函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限存在为 $L$ （其中 $L \neq 0$ ），则称 $f(x)$ 在 $x \to a$ 的过程中具有保号性。

具体是指：存在 $x=a$ 的一个去心邻域 $U(a, \delta) = {x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta }$ ，使得在这个邻域内， $f(x)$ 的符号与 $L$ 相同。

当 $L = 0$ 时，函数的符号可能发生变化，保号性不再适用

证明：

根据极限的定义，若

$\lim_{x \to a} f(x) = L \neq 0$

则对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，

$|f(x) - L| < \varepsilon$

令 $\varepsilon = \frac{|L|}{2}$ ，则有

$|f(x) - L| < \frac{|L|}{2}$

由三角不等式可得：

$|f(x)| \geq |L| - |f(x) - L| > |L| - \frac{|L|}{2} = \frac{|L|}{2}$

因此，当 $0 < |x - a| < \delta$ 时， $f(x)$ 与 $L$ 的符号一致，即函数 $f(x)$ 保号性成立

夹逼定理

设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 、 $h(x)$ 在某点 $x_0$ 的邻域内定义，且满足以下条件：

在 $x_0$ 的某邻域内（去掉 $x_0$ 本身），有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$

则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

证明：

已知 $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$ 和 $\lim_{x \to x_0} h(x) = L$ 。对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta_1 > 0$ 和 $\delta_2 > 0$ ，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时， $|g(x) - L| < \varepsilon$ ；当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时， $|h(x) - L| < \varepsilon$ 。

令 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ ，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时， $L - \varepsilon < g(x) < L + \varepsilon$ 和 $L - \varepsilon < h(x) < L + \varepsilon$ 。

因为 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ，故对任意 $x$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta$ ，有：

$L - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < L + \varepsilon$

所以， $|f(x) - L| < \varepsilon$ ，根据极限的定义： $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ ，得证。

3. 无穷大与无穷小

无穷小

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$ ) 时极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$ ) 时的无穷小

在自变量的同一变化过程中 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$ ) 中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x) = A + \alpha$ ，其中 $\alpha$ 是无穷小。

无穷大

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（或 $|x|$ 大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 $M$ （不论它多么大），总存在正数 $\delta$ （或正数 $X$ ），只要 $0 < |x - x_0| < \delta$ （或 $|x| > X$ ），总有：

$|f(x)| \geq M$

那么称函数 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$ ) 时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；

如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x) \neq 0$ ，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大

无穷小的比较

如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta=o(\alpha)$ ；

如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$ ，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；

如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$ ，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小；

如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c \neq 0, k>0$ ，那么就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小；

如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ ，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$ .

4. 运算法则

两个无穷小的和是无穷小

用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小

常数与无穷小的乘积是无穷小

有限个无穷小的乘积是无穷小
如果 $\lim{f(x)} = A$ ， $\lim{g(x)} = B$ ，那么：
- $\lim[{f(x) ± g(x)}] = \lim{f(x)} ± \lim{g(x)} = A ± B$
- $\lim[f(x) · g(x)] = \lim{f(x)} · \lim{g(x)} = A · B$
- 若 $B \neq 0$ ，则 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}} = \frac{A}{B}$
- 如果 $\lim{f(x)}$ 存在， $c$ 为常数，那么 $\lim[{cf(x)}] = c\lim{f(x)}$
  
  如果 $\lim{f(x)}$ 存在， $n$ 为正整数，那么 $\lim[{f(x)}]^n = [\lim{f(x)}]^n$
如果 $\varphi(x) \geq \psi(x)$ ，而 $\lim \varphi(x) = A$ ， $\lim \psi(x) = B$ ，那么 $A \geq B$
设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$ ， $\lim_{u \to u_0} f(u) = A$ ，且存在 $\delta_0 > 0$ ，当 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta_0)$ 时，有 $g(x) \neq u_0$ ，则

$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$

5. 重要极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})}^x = e$

6. 连续性

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

设 $x = x_0 + \Delta x$ ，此定义也可以表述为：

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

左连续与右连续

如果 $\lim_{x \to x_{0}^-}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，即 $f(x_{0}^-) = f(x_0)$ ，那么称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续

如果 $\lim_{x \to x_{0}^+}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$ ，即 $f(x_{0}^+) = f(x_0)$ ，那么称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件也可描述为左右极限相等且等于 $f(x_0)$ ：

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

7. 间断点

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。如果 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

在 $x = x_0$ 没有定义；
$\lim f(x)$ 不存在；
$\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$ ；

那么函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

第一类间断点(左右极限均存在)

可去间断点：左右极限相等，但不等于该点的函数值或者函数在该点无定义
跳跃间断点：左右极限不等

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点： $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$
震荡间断点：当 $x \to x_0$ 时，函数值在某个区间内无限次地往复震荡，没有确定的趋向

在实际的工程或几何建模中（如处理 B-Spline 或几何拓扑），第一类间断点通常是良性的，可以通过重新定义或分段处理来平滑化；第二类间断点往往代表系统性的崩溃或边界条件失效，需要从底层公式上避开。

8. 函数形式与连续性

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差） $f \pm g$ 、积 $f \cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ （当 $g(x_0) \neq 0$ 时）都在点 $x_0$ 连续

连续性在代数运算下具有封闭性
如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $\mathbf{I_x}$ 上单调递增（或单调递减）且连续，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $\mathbf{I_y} = \{y | y=f(x), x \in \mathbf{I_x}\}$ 上单调递增（或单调递减）且连续
设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \circ g}$ 。若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$ ，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则：

$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim_{u \to u_0} f(u) = f(u_0)$

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

9. 闭区间上连续函数的性质

有界性与最值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

零点定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ），则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi) = 0$ 。

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 $f(a) = A$ 及 $f(b) = B$ ，则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得

$f(\xi) = C \quad (a < \xi < b)$

推论：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[m, M]$ ，其中 $m$ 与 $M$ 依次为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值与最大值。

一致连续性

设函数 $f(x)$ 在区间 $\mathbf{I}$ 上有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得对于区间 $\mathbf{I}$ 上的任意两点 $x_1, x_2$ ，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有：

$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$

那么称函数 $f(x)$ 在区间 $\mathbf{I}$ 上一致连续。

一致连续性表示，不论在区间 $\mathbf{I}$ 的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度

一致连续性相比普通连续性更加严格，它要求找到一个万能的 $\delta$ ，无论在区间的哪个位置，只要自变量跨度小于 $\delta$ ，函数值跳动就不超过 $\varepsilon$ 。而在普通连续中， $\delta$ 可以在函数平缓的地方变得很大，在函数陡峭的地方缩得很小

一致连续性定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续。

这个定理能成立的根源在于闭区间的紧致性：

在开区间（如 $(0, 1]$ ）上，函数如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在趋近 0 时会变得无限陡峭。这意味着无论把 $\delta$ 缩到多小，函数值的变化量 $\varepsilon$ 都会爆炸

在闭区间 $[a, b]$ 上，由于端点也被包含在内且函数连续，函数不可能在区间内无限地变陡（它受到最值的约束）

使用有限覆盖定理证明：

在闭区间 $[a, b]$ 上的每一点 $x$ ，都有一个属于自己的局部 $\delta_x$ 。因为闭区间具有紧致性（Compactness），我们可以从无穷多个局部领域中挑出有限个来覆盖整个区间

既然只有有限个 $\delta_x$ ，那么我们一定能从这有限个数里挑出一个最小值，记为 $\delta_{min}$ 。由于这个最小值来自于有限集合，它必然大于 0。这个 $\delta_{min}$ 就是我们要找的万能 $\delta$

2. 导数与微分

1. 导数

1. 定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ （点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量：

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f'(x_0)$ ，即：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

其他等价写法： $y'|_{x=x_0}$ ， $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ ， $\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$

导数定义的其他常用形式：

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

如果极限 $\lim \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 不存在（比如左右极限不相等，或者趋向无穷大），那么我们就说该点不可导。

可导必定连续，连续不一定可导。

单侧导数

左导数： $f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 或 $f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

右导数： $f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 或 $f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件是左导数 $f'_-(x_0)$ 和右导数 $f'_+(x_0)$ 存在且相等。如 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处左导数 $f'_-(0) = -1$ 而右导数 $f'_+(0) = 1$ ，所以它在 $x = 0$ 处不可导。

2. 几何意义

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。 $f'(x_0) = \tan{\alpha}$ ，其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程为 $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

过切点 $M(x_0, y_0)$ 且与切线垂直的直线称为曲线 $y = f(x)$ 在点 $M$ 处的法线。如果 $f'(x_0) \neq 0$ ，法线的斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$ ，从而法线方程为 $y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$

3. 可导性与连续性

函数在某点可导一定连续，但连续不一定可导

证明

设函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导，即 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$

欲证 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ，即证 $\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0$

当 $x \neq x_0$ 时， $f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$ 显然恒成立，对等式两边同时取 $x \to x_0$ 的极限：

$\begin{aligned} \lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) &= \lim_{x \to x_0} \left[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0) \right] \\ &= \left( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) \cdot \left( \lim_{x \to x_0} (x - x_0) \right) \\ &= f'(x_0) \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$

得证；

函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件，例如绝对值函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处

4 求导法则

基本导数公式

$\begin{aligned} &(1)\ (C)' = 0, &&(2)\ (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}, \\ &(3)\ (\sin x)' = \cos x, &&(4)\ (\cos x)' = -\sin x, \\ &(5)\ (\tan x)' = \sec^2 x, &&(6)\ (\cot x)' = -\csc^2 x, \\ &(7)\ (\sec x)' = \sec x \tan x, &&(8)\ (\csc x)' = -\csc x \cot x, \\ &(9)\ (a^x)' = a^x \ln a \quad (a>0, a \neq 1), &&(10)\ (e^x)' = e^x, \\ &(11)\ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a>0, a \neq 1), &&(12)\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \\ &(13)\ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, &&(14)\ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ &(15)\ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}, &&(16)\ (\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2} \end{aligned}$

和差积商求导法则

设 $u=u(x), v=v(x)$ 都可导，则：

$\begin{aligned} &(1)\ (u \pm v)' = u' \pm v', &&(2)\ (Cu)' = Cu' \quad (C \text{ 是常数}), \\ &(3)\ (uv)' = u'v + uv', &&(4)\ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0). \end{aligned}$

反函数求导法则

设 $x=f(y)$ 在区间 $\mathbf{I_y}$ 内单调、可导且 $f'(y) \neq 0$ ，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $\mathbf{I_x} = f(\mathbf{I_y})$ 内也可导，且：

$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

复合函数的求导法则

设 $y=f(u)$ ，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad y'(x) = f'(u) \cdot g'(x)$

2. 高阶导数

1. 定义

设函数 $y = f(x)$ 在某个区间内可导，其导数为 $f'(x)$ 。如果 $f'(x)$ 在该区间内仍然可导，我们称它的导数为 $f(x)$ 的二阶导数。

一般地， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数是其 $n-1$ 阶导数的导数，数学递推式为：

$f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} \left[ f^{(n-1)}(x) \right]$

2. 几何意义

一阶导数 $f'(x)$ ：描绘曲线的斜率（切线方向）

二阶导数 $f''(x)$ ：描绘斜率的变化率，即曲线的凹凸性：

若 $f''(x) > 0$ ，曲线呈凹状（向上弯曲，凹面朝上）
若 $f''(x) < 0$ ，曲线呈凸状（向下弯曲，凹面朝下）
若 $f''(x) = 0$ 且两侧异号，该点为拐点（Inflection Point）

在微分几何中，一阶和二阶导数共同决定了曲线的曲率（Curvature）。二阶导数越大，意味着曲线弯曲得越厉害

3. 隐函数

1. 定义

显函数：因变量 $y$ 被明确地单独放在等号的一边，而自变量 $x$ （和常数）被完全放在等号的另一边，一般形式为 $y = f(x)$

隐函数：自变量 $x$ 和因变量 $y$ 混合在一个方程中，方程中并没有把 $y$ 明确地表示为 $x$ 的表达式，一般形式为 $F(x, y) = 0$

隐函数的显化：就是解方程的过程：把 $y$ 从 $F(x, y) = 0$ 中解出来，变成 $y = f(x)$ 的显函数形式

2. 求导

对隐函数的求导，应用复合函数求导法则（链式法则）。对于含 $y$ 的项，将 $y$ 看作中间变量，先对 $y$ 求导，再乘以 $\frac{dy}{dx}$ （ $y'$ ）

4. 参数方程

1. 定义

参数曲线（parametric curves）和参数方程（parametric equations）是使用一个或多个参数来描述几何曲线的一种方法。

参数方程通过一个或多个参数来描述曲线上的点。例如，设定一个参数 $t$ 表示曲线上各个点的变化量，点的 $x$ 和 $y$ 坐标分别是 $t$ 的函数：

$\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$

点集 $(x, y) = (f(t), g(t))$ 是一条参数曲线。

这种定义方法适用于二维平面中的曲线，如果在三维空间中则增加一个 $z$ 坐标函数 $z=h(t)$

2. 求导

已知 $y$ 是 $x$ 的函数， $x$ 又是 $t$ 的函数，那么根据链式法则： $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ ，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

Zwei

微积分笔记

1. 极限和连续

1. 函数

1. 定义

2. 特性

1. 有界性

2. 单调性

3. 奇偶性

4. 周期性

3. 反函数

4. 复合函数

5. 初等函数

1. 幂函数

2. 指数函数

3. 对数函数

4. 三角函数

2. 极限

1. 极限定义

2. 极限性质

3. 无穷大与无穷小

4. 运算法则

5. 重要极限

6. 连续性

7. 间断点

8. 函数形式与连续性

9. 闭区间上连续函数的性质

2. 导数与微分

1. 导数

1. 定义

2. 几何意义

3. 可导性与连续性

4 求导法则

2. 高阶导数

1. 定义

2. 几何意义

3. 隐函数

1. 定义

2. 求导

4. 参数方程

1. 定义

2. 求导