线性代数笔记

符号约定

记号	含义
$\mathbb{R}$	全体实数
$\mathbb{R}^2$	全体有序实数对 $(x, y)$，即平面
$\mathbb{R}^n$	全体 $n$ 元有序实数组
$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$	向量（黑体小写字母）
$s, t, a, b, c$	标量（实数）
$\mathbf{0}$	零向量
$\operatorname{span}$	张成（span）
$\lVert \mathbf{v} \rVert$	向量的模（长度）
$\iff$	当且仅当
$\blacksquare$	证毕

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1. 向量与线性运算

1. 向量的概念

1. 定义

向量是既有大小又有方向的量。具体来说，一个二维向量是一个有序实数对：

$$\mathbf{v} = (v_1,\; v_2), \qquad v_1, v_2 \in \mathbb{R}$$

其中：

• $v_1$ 是 $\mathbf{v}$ 的第一分量（$x$ 分量）
• $v_2$ 是 $\mathbf{v}$ 的第二分量（$y$ 分量）

全体二维向量构成的集合记作 $\mathbb{R}^2$。

几何上，把向量 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 的起点放在平面直角坐标系的原点，则它的终点落在点 $(v_1, v_2)$ 上。因此向量可以画成一支从原点出发的箭头：$v_1$ 是箭头终点的横坐标（向右为正），$v_2$ 是纵坐标（向上为正）。代数对象与几何对象一一对应，这是"数形结合"的起点。

类似地，$n$ 维向量是 $n$ 元有序实数组 $(v_1, v_2, \dots, v_n)$，全体记作 $\mathbb{R}^n$。本章为便于画图只讨论 $\mathbb{R}^2$，但所有定义、定理与证明均可逐字推广到 $\mathbb{R}^n$——几何直觉先在平面上建立，代数推理天然适用于任意维度。

2. 特性

1. 相等

两个向量 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ 与 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 相等，当且仅当对应分量相等：

$$\mathbf{u} = \mathbf{v} \iff u_1 = v_1 \text{ 且 } u_2 = v_2$$

几何上，两支箭头长度相等且方向相同，就表示同一个向量。因此向量是"自由"的：把一支箭头在平面内平移，它所代表的向量不变。通俗地说，平面上的箭头按"经平移后能完全重合"分成等价类，一个向量就是一个等价类，而坐标定义 $(v_1, v_2)$ 直接以数对为对象，回避了等价类的细节。

例如，$(3, 1)$ 表示向右 3 个单位、向上 1 个单位的箭头；它与 $(1, 2)$ 不相等，因为 $3 \neq 1$，第一分量不同。

2. 零向量

分量全为零的向量

$$\mathbf{0} = (0, 0)$$

称为零向量。零向量对应起点与终点重合的箭头，没有确定的方向；约定它与任何向量共线（见 3.3 节）。零向量在线性代数中的地位类似于数 $0$：它是加法的单位元（见 2.4 节运算律第 3 条）。

3. 模

向量 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 的模（长度、范数）定义为

$$\lVert \mathbf{v} \rVert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$$

几何依据是勾股定理：从原点到终点 $(v_1, v_2)$ 的箭头，两条直角边长为 $\lvert v_1 \rvert$ 与 $\lvert v_2 \rvert$，斜边长即上式。模为 $1$ 的向量称为单位向量。

模的基本性质：

1. 非负性：$\lVert \mathbf{v} \rVert \geq 0$
2. 退化性：$\lVert \mathbf{v} \rVert = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$
3. 正齐次性：$\lVert s\,\mathbf{v} \rVert = \lvert s \rvert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert$

证明：

(1) 因 $v_1^2 \geq 0$，$v_2^2 \geq 0$，故 $v_1^2 + v_2^2 \geq 0$，算术平方根非负。

(2) 若 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$，显然 $\lVert \mathbf{v} \rVert = 0$。反之，若 $\lVert \mathbf{v} \rVert = 0$，则 $v_1^2 + v_2^2 = 0$；实数的平方非负，两个非负数之和为零必须每一项为零，故 $v_1 = v_2 = 0$，即 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$。

(3) 按定义展开：

$$\lVert s\,\mathbf{v} \rVert^2 = (s v_1)^2 + (s v_2)^2 = s^2\,(v_1^2 + v_2^2) = \lvert s \rvert^2\, \lVert \mathbf{v} \rVert^2$$

其中用到 $s^2 = \lvert s \rvert^2$。两边均为非负数，开平方得 $\lVert s\mathbf{v} \rVert = \lvert s \rvert \lVert \mathbf{v} \rVert$。 $\blacksquare$

由正齐次性，任何非零向量都可分解为

$$\mathbf{v} = \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \hat{\mathbf{v}}, \qquad \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{\lVert \mathbf{v} \rVert}\,\mathbf{v}, \qquad \lVert \hat{\mathbf{v}} \rVert = 1$$

通俗地说，数乘把向量拆成"长度 $\times$ 单位方向"，大小与方向由此分离。

例如，$\lVert (3, 4) \rVert = 5$，$(3, 4)$ 的单位方向是 $(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5})$；而 $\lVert -2 \cdot (3,4) \rVert = \lvert -2 \rvert \cdot 5 = 10$。

2. 线性运算

1. 向量加法

设 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，它们的和定义为对应分量相加：

$$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1,\; u_2 + v_2)$$

几何意义是位移的相继发生（三角形法则）：先沿 $\mathbf{u}$ 走一段位移，再沿 $\mathbf{v}$ 走一段位移，总位移就是 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$。画图时，把 $\mathbf{v}$ 的起点平移到 $\mathbf{u}$ 的终点，从 $\mathbf{u}$ 的起点指向 $\mathbf{v}$ 的终点的箭头即为 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$。

代数与几何的一致性：从原点沿 $\mathbf{u}$ 到达 $(u_1, u_2)$，再沿 $\mathbf{v}$ 走意味着横坐标再增加 $v_1$、纵坐标再增加 $v_2$，终点为 $(u_1 + v_1,\; u_2 + v_2)$——正是定义的右端。可见"分量相加"不是人为规定，而是位移合成这一几何事实的代数写照。

当 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 都以原点为起点时，$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 恰好是以 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 为邻边的平行四边形的对角线，称为平行四边形法则（图 1-1）。

2. 标量乘法

设 $s \in \mathbb{R}$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$。数乘定义为每个分量同乘 $s$：

$$s\,\mathbf{v} = (s\,v_1,\; s\,v_2)$$

几何意义（图 1-2）：

• $s > 1$：方向不变，长度拉伸为原来的 $s$ 倍（如 $2\mathbf{v}$）
• $0 < s < 1$：方向不变，长度缩短（如 $0.5\mathbf{v}$）
• $s = 0$：得到零向量 $\mathbf{0}$
• $s < 0$：方向反转，长度变为 $\lvert s \rvert$ 倍（如 $-\mathbf{v}$）

其中"长度变为 $\lvert s \rvert$ 倍"的严格依据是模的正齐次性（见 1.2 节模的性质 3），而非图形直觉。

3. 负向量与减法

$$-\mathbf{u} := (-1)\,\mathbf{u}, \qquad \mathbf{u} - \mathbf{v} := \mathbf{u} + (-\mathbf{v})$$

$-\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{u}$ 长度相等（$\lVert -\mathbf{u} \rVert = \lvert -1 \rvert \lVert \mathbf{u} \rVert$）、方向相反。$\mathbf{u} - \mathbf{v}$ 的几何形象是"从 $\mathbf{v}$ 的终点指向 $\mathbf{u}$ 的终点"的那支箭头（平移到原点）。验证减法确为加法的逆运算：

$$(\mathbf{u}-\mathbf{v})+\mathbf{v} = \mathbf{u}+(-\mathbf{v})+\mathbf{v} = \mathbf{u}+\bigl((-\mathbf{v})+\mathbf{v}\bigr) = \mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{u}$$

每一步分别用了减法定义、结合律、交换律与负元、零元——运算律是推理的"合法手续"，这是第一个实例。

4. 运算律

对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^2$ 及 $s, t \in \mathbb{R}$：

名称	数学表达式
加法交换律	$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
加法结合律	$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
零元	$\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$
负元	$\mathbf{u} + (-1)\mathbf{u} = \mathbf{0}$
数乘结合律	$s(t\mathbf{u}) = (st)\mathbf{u}$
单位标量	$1\mathbf{u} = \mathbf{u}$
分配律（对向量加法）	$s(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = s\mathbf{u} + s\mathbf{v}$
分配律（对标量加法）	$(s+t)\mathbf{u} = s\mathbf{u} + t\mathbf{u}$

证明：

通用策略：按分量展开，把向量的等式化归为实数的等式。由向量相等的定义，只需分别验证两个分量。记 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，$\mathbf{w} = (w_1, w_2)$。

(1) $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 的第一分量为 $u_1 + v_1$，$\mathbf{v}+\mathbf{u}$ 的第一分量为 $v_1 + u_1$；由实数加法交换律二者相等。第二分量同理。

(2) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}$ 的第一分量为 $(u_1+v_1)+w_1$，$\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ 的第一分量为 $u_1+(v_1+w_1)$；由实数加法结合律二者相等。第二分量同理。

(3) $\mathbf{u}+\mathbf{0} = (u_1+0,\; u_2+0) = (u_1, u_2) = \mathbf{u}$，用了实数的零元性质。

(4) $\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u} = (u_1+(-u_1),\; u_2+(-u_2)) = (0,0) = \mathbf{0}$，用了实数的负元性质。

(5) $s(t\mathbf{u})$ 的第一分量为 $s(tu_1)$，$(st)\mathbf{u}$ 的第一分量为 $(st)u_1$；由实数乘法结合律二者相等。第二分量同理。

(6) $1\mathbf{u} = (1 \cdot u_1,\; 1 \cdot u_2) = (u_1, u_2) = \mathbf{u}$。

(7) $s(\mathbf{u}+\mathbf{v})$ 的第一分量为 $s(u_1+v_1)$，$s\mathbf{u}+s\mathbf{v}$ 的第一分量为 $su_1+sv_1$；由实数乘法对加法的分配律二者相等。第二分量同理。

(8) $(s+t)\mathbf{u}$ 的第一分量为 $(s+t)u_1$，$s\mathbf{u}+t\mathbf{u}$ 的第一分量为 $su_1+tu_1$；由实数分配律（另一方向）二者相等。第二分量同理。 $\blacksquare$

通俗地说，向量的运算律不需要重新发明，它们全部按分量继承自实数的运算律——"数"的规则自动升维到"形"的世界。这八条定律是后文一切推理的合法手续（3.6 节的证明将逐步引用它们），也是"线性空间"公理体系的原型。

3. 线性组合与张成

1. 线性组合

设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$，$a, b \in \mathbb{R}$。形如

$$a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v}$$

的向量称为 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 的线性组合，$a, b$ 称为组合系数。

线性组合是线性代数中最重要的概念——线性方程组、矩阵乘法、基与坐标，本质上都在回答同一个问题：哪些向量能表示成哪些向量的线性组合。

记 $\mathbf{e}_1 = (1, 0)$，$\mathbf{e}_2 = (0, 1)$。对任意 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$：

$$x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2 = (x,\; y)$$

即平面上任何向量都是 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 的线性组合，且系数恰好就是它的坐标。通俗地说，坐标的本质就是相对于这组"标准参考方向"的组合系数。

2. 张成

向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 的全体线性组合构成的集合称为它们的张成：

$$\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \{\, a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \;:\; a, b \in \mathbb{R} \,\}$$

几何直觉：固定两支箭头 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$，让系数取遍所有实数，问"用它们能够到平面上的哪些点"。答案只有三种可能：

1. $\mathbf{u} = \mathbf{v} = \mathbf{0}$：一切组合都是 $\mathbf{0}$，张成退化为一个点
2. $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线（至少一个非零）：张成是一条过原点的直线（图 1-3）
3. $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 不共线且都非零：张成是整个平面 $\mathbb{R}^2$（图 1-4）

情形 2、3 的严格证明见 3.5 节。

3. 共线

$\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 称为共线的（平行，记作 $\mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$），如果存在 $c \in \mathbb{R}$ 使 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，或存在 $c \in \mathbb{R}$ 使 $\mathbf{v} = c\mathbf{u}$。

该定义涵盖"某个向量是零向量"的情形：零向量与任何向量共线，因为 $\mathbf{0} = 0 \cdot \mathbf{u}$ 恒成立。若两个向量都非零，则共线等价于"终点落在同一条过原点的直线上"（习题 1.6）。

4. 判别式

对 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，定义

$$D = u_1 v_2 - u_2 v_1$$

引理（共线判别） 设 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，则

$$\mathbf{u} \parallel \mathbf{v} \iff D = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$$

证明：

（$\Leftarrow$）设 $D = 0$，即 $u_1 v_2 = u_2 v_1$。因 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，$v_1, v_2$ 至少一个非零。不妨设 $v_1 \neq 0$（若 $v_1 = 0$ 则 $v_2 \neq 0$，对换下标 1、2 后以下论证逐字成立）。取 $c = u_1 / v_1$，则第一分量 $u_1 = c v_1$；第二分量由条件及 $v_1 \neq 0$：

$$u_2 = \frac{u_1 v_2}{v_1} = \frac{(c v_1) v_2}{v_1} = c v_2$$

故 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，共线。

（$\Rightarrow$）若 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，则

$$D = (c v_1) v_2 - (c v_2) v_1 = c\,(v_1 v_2 - v_2 v_1) = 0 \qquad \blacksquare$$

数形结合：$\lvert D \rvert$ 恰好等于 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 张成的平行四边形的面积（见 3.7 节）。"$D = 0$"在几何上就是平行四边形被压扁成一条线段（面积为零），即两向量共线。这个量是行列式的二维雏形。

5. 张成平面判定定理

定理 设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ 均非零，则以下三个命题等价：

$$\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2 \iff \mathbf{u}, \mathbf{v} \text{ 不共线} \iff D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$$

证明：

采用「① $\Rightarrow$ ② $\Rightarrow$ ③ $\Rightarrow$ ①」的环形证法：其中 ② $\iff$ ③ 已由共线判别引理沟通（不共线 $\iff D \neq 0$），故只需再证 ① $\Rightarrow$ ② 与 ③ $\Rightarrow$ ① 两个蕴含。

（③ $\Rightarrow$ ①：$D \neq 0 \Rightarrow \operatorname{span} = \mathbb{R}^2$） 任取 $\mathbf{w} = (w_1, w_2) \in \mathbb{R}^2$，要找系数 $a, b$ 使 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{w}$。按分量写出，这是一个关于 $a, b$ 的二元一次方程组：

$$\begin{cases} a\,u_1 + b\,v_1 = w_1 \\ a\,u_2 + b\,v_2 = w_2 \end{cases}$$

第一式乘 $v_2$、第二式乘 $v_1$，相减消去 $b$：

$$a\,(u_1 v_2 - u_2 v_1) = w_1 v_2 - w_2 v_1, \qquad\text{即}\qquad a\,D = w_1 v_2 - w_2 v_1$$

因 $D \neq 0$，可解出 $a = \dfrac{w_1 v_2 - w_2 v_1}{D}$。对称地，第一式乘 $u_2$、第二式乘 $u_1$ 相减（消去 $a$），得 $b\,(v_1 u_2 - v_2 u_1) = w_1 u_2 - w_2 u_1$；分子分母同乘 $-1$，即 $b = \dfrac{u_1 w_2 - u_2 w_1}{D}$。

代回验证：

$$a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \left( \frac{(w_1 v_2 - w_2 v_1)u_1 + (u_1 w_2 - u_2 w_1)v_1}{D},\;\; \frac{(w_1 v_2 - w_2 v_1)u_2 + (u_1 w_2 - u_2 w_1)v_2}{D} \right)$$

考察第一个分量的分子，展开并重新分组：

$$w_1 u_1 v_2 - w_2 u_1 v_1 + u_1 w_2 v_1 - u_2 w_1 v_1 = w_1 (u_1 v_2 - u_2 v_1) + \underbrace{(- w_2 u_1 v_1 + u_1 w_2 v_1)}_{=\,0} = w_1 D$$

故第一个分量 $= w_1 D / D = w_1$。同理第二个分量 $= w_2$。于是 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{w}$。由 $\mathbf{w}$ 任意，$\operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2$。

（① $\Rightarrow$ ②：$\operatorname{span} = \mathbb{R}^2 \Rightarrow$ 不共线） 反证。假设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线。因二者均非零，由引理存在 $c$ 使 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$。于是任意线性组合

$$a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = a(c\mathbf{v}) + b\mathbf{v} = (ac)\mathbf{v} + b\mathbf{v} = (ac + b)\,\mathbf{v}$$

三步依次用了替换、数乘结合律、分配律。令 $t = ac + b$，则 $\operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} = \{t\mathbf{v} : t \in \mathbb{R}\}$，这是过原点、方向为 $\mathbf{v}$ 的直线：每个 $t\mathbf{v}$ 的终点 $(t v_1, t v_2)$ 满足直线方程（若 $v_1 \neq 0$，由 $x = t v_1$ 解出 $t = x/v_1$，代入得 $y = \tfrac{v_2}{v_1} x$；若 $v_1 = 0$ 则 $x \equiv 0$，是竖直直线）；反之该直线上任一点都形如 $t\mathbf{v}$。

但这条直线不等于整个平面：取向量 $\mathbf{w} = (-v_2,\; v_1)$，计算它与 $\mathbf{v}$ 的判别式

$$D(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = v_1 \cdot v_1 - v_2 \cdot (-v_2) = v_1^2 + v_2^2 = \lVert \mathbf{v} \rVert^2 > 0$$

（最后一步用了 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ 与模的退化性），故由引理，$\mathbf{w}$ 与 $\mathbf{v}$ 不共线，即 $\mathbf{w} \notin \{t\mathbf{v}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$。这与 $\operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2$ 矛盾。故 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 不共线。

三个命题环形贯通，定理得证。 $\blacksquare$

数形结合：图 1-4 中橙色小点是所有整数系数组合 $a\mathbf{u}+b\mathbf{v}$（$a,b \in \mathbb{Z}$）的终点，构成一张倾斜的网格。定理说明：当系数从整数放宽到全部实数时，这张网格密密地铺满整个平面（证明还给出了到达任一点 $\mathbf{w}$ 的精确"导航系数" $a, b$）。而图 1-3 中共线的情形，无论如何放宽系数，点永远被限制在一条直线上——“一个方向"只能换来"一条轨道”。

例如，$\mathbf{u} = (3,1)$，$\mathbf{v} = (1,2)$，$D = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5 \neq 0$，二者张成整个平面。取 $\mathbf{w} = (2, 5)$：

$$a = \frac{2 \cdot 2 - 5 \cdot 1}{5} = -\frac{1}{5}, \qquad b = \frac{3 \cdot 5 - 1 \cdot 2}{5} = \frac{13}{5}$$

代回验证：$-\tfrac{1}{5}(3,1) + \tfrac{13}{5}(1,2) = (-\tfrac{3}{5}+\tfrac{13}{5},\; -\tfrac{1}{5}+\tfrac{26}{5}) = (2, 5)$。 $\checkmark$

6. 张成的封闭性

定理 对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$，集合 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 满足：

1. 对加法封闭：若 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$，则 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$
2. 对数乘封闭：若 $\mathbf{x} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$，$c \in \mathbb{R}$，则 $c\,\mathbf{x} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$

证明：

由张成的定义，存在实数 $a_1, b_1, a_2, b_2$ 使

$$\mathbf{x} = a_1 \mathbf{u} + b_1 \mathbf{v}, \qquad \mathbf{y} = a_2 \mathbf{u} + b_2 \mathbf{v}$$

(1) 由结合律与交换律，向量的连加可以任意重排次序与括号，故

$$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (a_1 \mathbf{u} + b_1 \mathbf{v}) + (a_2 \mathbf{u} + b_2 \mathbf{v}) = (a_1 \mathbf{u} + a_2 \mathbf{u}) + (b_1 \mathbf{v} + b_2 \mathbf{v})$$

再由分配律合并同类项：

$$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (a_1 + a_2)\,\mathbf{u} + (b_1 + b_2)\,\mathbf{v}$$

这是 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 的线性组合，故 $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$。

(2) 由分配律与数乘结合律：

$$c\,\mathbf{x} = c\,(a_1 \mathbf{u} + b_1 \mathbf{v}) = c\,(a_1 \mathbf{u}) + c\,(b_1 \mathbf{v}) = (c a_1)\,\mathbf{u} + (c b_1)\,\mathbf{v}$$

故 $c\mathbf{x} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$。 $\blacksquare$

通俗地说，张成是一块"自给自足"的区域：从里面任取向量做线性运算，结果跑不出去。若张成是一条直线（图 1-3），直线上两支向量相加、数乘仍在直线上；若张成是全平面（图 1-4），更无处可逃。具有这种封闭性的集合将来称为线性子空间。请注意证明的每一步都在引用运算律——没有那八条合法手续，这里连一步都迈不出去。

7. 面积解释（选学）

定理 以 $\mathbf{0}, \mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{v}$ 为顶点的平行四边形的面积等于

$$\lvert u_1 v_2 - u_2 v_1 \rvert = \lvert D \rvert$$

证明（割补法）分三步。

第 1 步（剪切引理）：把 $\mathbf{v}$ 换成 $\mathbf{v}' = \mathbf{v} + t\mathbf{u}$（沿 $\mathbf{u}$ 的方向"推歪"，称为剪切），平行四边形面积不变。旧平行四边形顶点为 $\mathbf{0}, \mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{v}$，新顶点为 $\mathbf{0}, \mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}', \mathbf{v}'$。设 $t > 0$（$t < 0$ 同理）。沿平行于 $\mathbf{u}$ 的直线把旧平行四边形靠 $\mathbf{v}$ 一侧切下一个三角形，平移补到另一侧：割下的三角形与新补上的三角形三边分别相等（两条边是 $\mathbf{u}$ 方向上等长的平行线段，第三条边公共），由三角形全等判定（SSS）二者恰好拼合，得到新平行四边形，面积不变——剪切保面积。

第 2 步（剪成矩形）：若 $u_1 \neq 0$，取 $t = -v_1/u_1$，则

$$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + t\mathbf{u} = \left(0,\; v_2 - \tfrac{v_1}{u_1} u_2\right)$$

的第一分量为零，成为竖直向量。再对 $\mathbf{u}$ 做一次剪切（第 1 步中交换 $\mathbf{u}, \mathbf{v}'$ 的角色）：若 $\mathbf{v}' \neq \mathbf{0}$，取剪切量把 $\mathbf{u}$ 变为水平向量 $\mathbf{u}' = (u_1, 0)$。于是原平行四边形经过两次保面积的剪切，变成由 $(u_1, 0)$ 与 $(0, h)$（其中 $h = v_2 - \tfrac{v_1}{u_1} u_2$）张成的矩形，其面积为

$$\lvert u_1 \rvert \cdot \lvert h \rvert = \left\lvert u_1 \left(v_2 - \tfrac{v_1}{u_1} u_2\right) \right\rvert = \lvert u_1 v_2 - u_2 v_1 \rvert = \lvert D \rvert$$

第 3 步（退化情形）：若 $u_1 = 0$（$\mathbf{u}$ 竖直）且 $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$，改为沿 $\mathbf{u}$ 剪切 $\mathbf{v}$ 使其水平，同理得矩形面积 $\lvert u_2 v_1 \rvert = \lvert D \rvert$。若剪切后 $h = 0$，即 $D = 0$，平行四边形退化为一条线段，面积 $0 = \lvert D \rvert$，公式仍成立。 $\blacksquare$

这个定理说明：$D$ 的符号记录了从 $\mathbf{u}$ 转到 $\mathbf{v}$ 是逆时针（$D > 0$）还是顺时针（$D < 0$），即定向；$\lvert D \rvert$ 记录了面积，即测度。一个两行的代数式同时编码了方向与大小，这是行列式在高维的完整推广的预告。

4. 演示图像

配套演示程序（仅依赖 C++ 标准库）把本章内容绘制为 PPM 图像，输出于 output/chapter1/ 目录。图像采用 PPM（P6）格式：文件头为文本（格式标识、宽、高、最大颜色值），其后逐像素存放 R、G、B 三个字节，任何常见看图软件均可打开。

坐标映射（数形结合的代码体现）：数学坐标 $(x, y)$ 以原点居中、$y$ 轴向上，而图像像素的 $y$ 轴向下，程序中的换算为

$$\text{px} = \frac{W}{2} + \lfloor x \cdot \text{unit} \rceil, \qquad \text{py} = \frac{H}{2} - \lfloor y \cdot \text{unit} \rceil$$

其中 unit 是每数学单位的像素数。第二个式子中的减号正是"翻转 $y$ 轴"这一几何动作留下的代数痕迹。

图像文件	内容	对应正文
output/chapter1/fig_1_1_addition.ppm	平行四边形法则	图 1-1，2.1 节
output/chapter1/fig_1_2_scalar.ppm	数乘的伸缩与反向	图 1-2，2.2 节
output/chapter1/fig_1_3_span_line.ppm	共线向量的张成是一条直线	图 1-3，3.5 节
output/chapter1/fig_1_4_span_plane.ppm	不共线向量的组合铺满平面	图 1-4，3.5 节

图 1-1（fig_1_1_addition.ppm）：深色背景上有单位网格；红色箭头为 $\mathbf{u}=(3,1)$，蓝色箭头为 $\mathbf{v}=(1,2)$，两条灰色辅助线把二者的终点连成平行四边形，绿色箭头 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(4,3)$ 恰好沿对角线——这就是交换律的几何面貌。

图 1-2（fig_1_2_scalar.ppm）：四支箭头 $\mathbf{v}$（蓝）、$2\mathbf{v}$（红）、$0.5\mathbf{v}$（橙）、$-\mathbf{v}$（紫）全部落在过原点的同一条直线上——数乘不改变"所在直线"，只改变"走多远、朝哪头"。

图 1-3（fig_1_3_span_line.ppm）：方向 $\mathbf{d}=(2,1)$ 的灰色直线贯穿画布，橙色点是整数倍的 $\mathbf{d}$。即便系数取遍全体实数，也只能在这条直线上滑动。

图 1-4（fig_1_4_span_plane.ppm）：以 $\mathbf{u}=(1.5,0.5)$（红）、$\mathbf{v}=(-0.5,1.5)$（蓝）为"斜坐标轴"（$D = 1.5 \times 1.5 - 0.5 \times (-0.5) = 2.5 \neq 0$），橙色格点铺开成覆盖整个画布的倾斜网格——不共线的两个方向足以够到平面上的每一点。

5. 小结

概念	代数形式	几何形象
向量	有序实数对 $(v_1, v_2)$	原点出发的一支箭头（平移不变）
加法	对应分量相加	三角形 / 平行四边形法则
数乘	每个分量同乘 $s$	沿原方向伸缩，$s < 0$ 时反向
模	$\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$	箭头长度（勾股定理）
线性组合	$a\mathbf{u} + b\mathbf{v}$	用两个方向"搭配"出新向量
张成	全体组合的集合	点 / 直线 / 全平面，对线性运算封闭
判别式 $D$	$u_1 v_2 - u_2 v_1$	平行四边形有向面积（$D = 0 \iff$ 共线）

三条主线：

1. 运算律免费继承：向量运算的全部性质按分量归结为实数运算律，而运算律是后文一切推理的合法手续（3.6 节的证明即为示范）。
2. 大小与方向分离：$\mathbf{v} = \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \hat{\mathbf{v}}$——数乘把向量拆成长度与单位方向。
3. $D$ 预告了行列式：判定共线与否的量同时是面积——代数判别式与几何测度合二为一。

如果 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线，那么其中一个是"冗余"的——去掉一个，张成不变（习题 1.7）。把"冗余"精确化，就得到线性无关与基的概念，这是下一章的主题。

6. 习题

1. （证明细节补全） 2.4 节运算律证明中多处写了"第二分量同理"。以 (1)、(5)、(7)、(8) 四条为例，把"同理"部分的实数等式逐一写出，并指明每一步用的是实数的哪条运算律。
2. （几何证明） 只用三角形法则的图形（不用分量），解释加法结合律 $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$：三支箭头首尾相接，两种"加括号"方式为何指向同一终点？
3. （模的计算）
   (a) 求 $\lVert \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \rVert$，并说明它就是单位正方形的对角线长；
   (b) 求 $(6, 8)$ 与 $(-6, 8)$ 的模，解释为何二者相等——模丢失了什么信息？
   © 求 $(6, 8)$ 的单位方向向量 $\hat{\mathbf{v}}$，并验证 $\mathbf{v} = \lVert \mathbf{v} \rVert \hat{\mathbf{v}}$。
4. （张成计算） $\mathbf{u}=(1,1)$，$\mathbf{v}=(1,-1)$。
   (a) 计算 $D$，判断它们是否张成 $\mathbb{R}^2$；
   (b) 用 3.5 节的公式求 $a, b$ 使 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = (2, 3)$，并代回验证；
   © 求 $a, b$ 使 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = (1, 0)$。由此写出用 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 表示 $\mathbf{e}_1$ 的表达式——你刚刚完成了一次"换基"。
5. （退化情形） 证明：$\operatorname{span}\{\mathbf{u}\} = \{\mathbf{0}\} \iff \mathbf{u} = \mathbf{0}$；若 $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$，则 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}\}$ 是过原点的直线。（提示：后者可仿照 3.5 节证明中的直线方程论证。）
6. （定义的刻画） 设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 均非零。证明：$\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线 $\iff$ $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 的终点落在同一条过原点的直线上。
7. （冗余性） 设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线且均非零。证明 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{u}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}$——去掉任何一个，张成不变。
8. （编程） 修改配套演示程序中绘制向量加法的函数：先画 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$（绿），再从 $\mathbf{v}$ 的终点出发、用黄色箭头按三角形法则画一遍 $\mathbf{v}+\mathbf{u}$ 的路径。重新运行，观察两支和向量完全重合——你"看见"了交换律。
9. （编程） 仿照图 1-4 的演示，取 $\mathbf{u}=(1,0)$、$\mathbf{v}=(2,0)$（共线），画出整数系数组合 $a\mathbf{u}+b\mathbf{v}$ 的点。观察所有点退化到 $x$ 轴上——你"看见"了 3.5 节定理的第二步与习题 7 的"冗余性"。
10. （向 $n$ 维推广） 把运算律 (1)（交换律）与 (7)（分配律）的证明逐字改写到 $\mathbb{R}^n$：设 $\mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n)$ 等，验证所有分量。体会代数推理天然适用于任意维度。
11. （思考） 三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，一个非零向量的张成是什么？两个不共线向量的张成是什么？三个向量何时能张成整个 $\mathbb{R}^3$？（提示：类比"点 $\to$ 线 $\to$ 面 $\to$ 体"的升维模式。）

---

2. 线性无关与基

第一章末尾留下了一个问题：若两个向量共线，其中一个就是"冗余"的——去掉它，张成不变。本章把"冗余"精确化为线性相关，把"不多不少、恰好够用"的向量组精确化为基，并回答一个根本问题：平面的"维数"到底是什么意思？

1. 线性相关与线性无关

1. 定义

设 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^2$（$k$ 为任意正整数）。若存在不全为零的实数 $a_1, \dots, a_k$，使得

$$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$$

则称向量组 $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}$ 线性相关；否则称为线性无关。线性无关的含义是：只要

$$a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$$

就必有 $a_1 = \cdots = a_k = 0$——只有零组合才能抵消回原点。

其中"不全为零"指 $a_1, \dots, a_k$ 中至少一个不为零。本章重点讨论 $k = 1$ 与 $k = 2$ 的情形；$k \geq 3$ 的情形将在 3.6 节登场。

几何解读：

• 线性相关：组内方向"互相欠债"——存在一种非零的搭配，使几段位移首尾相接恰好走回原点，说明有的方向可由其余方向"赔付"（2.1 节的冗余定理将严格化这句话）
• 线性无关：除全部系数取零外，任何组合都回不到原点——组内方向彼此独立，谁也替代不了谁（图 2-1 与图 2-2 是两种情形的对照）

2. 特性

1. 含零向量必相关

若 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$，则对任何 $\mathbf{v}$，取 $a = 1,\; b = 0$：

$$1 \cdot \mathbf{0} + 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$$

系数 $(1, 0)$ 不全为零，故 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性相关。通俗地说，零向量是"天生的冗余"：它自己就能和自己抵消（$1 \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$）。

2. 单个向量的相关性

$$\{\mathbf{v}\} \text{ 线性相关} \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$$

证明：

（$\Leftarrow$）若 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$，则 $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$，系数非零，相关。

（$\Rightarrow$）设相关，则存在 $a \neq 0$ 使 $a\mathbf{v} = \mathbf{0}$。于是

$$\mathbf{v} = 1 \cdot \mathbf{v} = \left(\tfrac{1}{a} \cdot a\right)\mathbf{v} = \tfrac{1}{a}\,(a\mathbf{v}) = \tfrac{1}{a}\,\mathbf{0} = \mathbf{0}$$

三步依次用了单位标量律、数乘结合律与条件 $a\mathbf{v} = \mathbf{0}$。$\blacksquare$

即：单个非零向量线性无关——一个非零方向不欠任何债。

3. 两个向量：相关当且仅当共线

定理 设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$，则 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性相关 $\iff$ $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 共线（第一章 3.3 节）。

证明：

（$\Leftarrow$）设共线。若其一为零向量，由特性 1 已相关；若均非零，由共线定义存在 $c$ 使 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，于是用分配律（对标量加法）与实数的负元性质：

$$1 \cdot \mathbf{u} + (-c) \cdot \mathbf{v} = c\mathbf{v} + (-c)\mathbf{v} = (c + (-c))\,\mathbf{v} = 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$$

系数 $(1, -c)$ 中第一个为 $1 \neq 0$，不全为零，相关。

（$\Rightarrow$）设相关，存在 $(a, b) \neq (0, 0)$ 使 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{0}$。

• 若 $b \neq 0$：移项得 $b\mathbf{v} = (-a)\mathbf{u}$（用了负元与交换律），两边同乘 $1/b$ 并用数乘结合律，得

$$\mathbf{v} = \left(-\tfrac{a}{b}\right)\mathbf{u}$$

即 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{u}$ 的倍数，共线。

• 若 $b = 0$：则 $a \neq 0$ 且 $a\mathbf{u} = \mathbf{0}$，由特性 2 的论证得 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$，而零向量与任何向量共线。$\blacksquare$

证明中的每一步移项、约分都在引用第一章 2.4 节的运算律——八条合法手续再次上岗。

2. 线性相关的刻画

1. 冗余定理

定理 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性相关 $\iff$ 其中一个向量可由另一个线性表示（是另一个的实数倍）。

证明：

（$\Leftarrow$）设 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，则如 1.3 节所示，$(1, -c)$ 是不全为零的抵消组合，相关。

（$\Rightarrow$）设相关。若其一为零向量，则 $\mathbf{0} = 0 \cdot \mathbf{w}$（$\mathbf{w}$ 为另一个），已得表示；若均非零，由 1.3 节定理二者共线，即存在 $c$ 使 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$（或 $\mathbf{v} = c\mathbf{u}$），得表示。$\blacksquare$

冗余定理给"冗余"以精确含义：相关组中必有一个成员是多余的——删去它，张成不变（习题 2.8；亦即第一章习题 1.7 的另一面）。线性无关则刻画"无冗余"：谁也不能由谁赔出来。图 2-1 中 $\mathbf{v} = 0.5\,\mathbf{u}$，删掉任何一个，剩下的仍张成同一条直线。

2. 判别式判定

第一章的判别式 $D$ 在此成为唯一的判官。

定理 设 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，则

$$\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} \text{ 线性无关} \iff D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$$

证明：

把 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 按分量写出，得到关于 $a, b$ 的齐次线性方程组：

$$\begin{cases} a\,u_1 + b\,v_1 = 0 \\ a\,u_2 + b\,v_2 = 0 \end{cases}$$

第一式乘 $v_2$、第二式乘 $v_1$ 相减（消去 $b$），得 $a\,D = 0$；对称地，第一式乘 $u_2$、第二式乘 $u_1$ 相减（消去 $a$），得 $b\,(v_1 u_2 - v_2 u_1) = 0$，即 $-b\,D = 0$。

若 $D \neq 0$：由 $a D = 0$ 与 $b D = 0$（乘积为零且一个因子非零，则另一个为零）得 $a = b = 0$。故零组合只有零系数，无关。

若 $D = 0$：要证相关。若 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$，取 $(a, b) = (0, 1)$ 即可；若 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，由第一章 3.4 节引理（$D = 0$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$）得存在 $c$ 使 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，于是 $(1, -c)$ 是不全为零的抵消组合，相关。$\blacksquare$

数形结合：$D = 0$ 意味着平行四边形面积归零（第一章 3.7 节）——两个方向压扁到一条线上，自然可以互相抵消；$D \neq 0$ 则两个方向撑开一块真正的"面"，谁也替代不了谁。

3. 四条命题的汇合

综合第一章 3.5 节（张成平面判定定理）与本章 1.3、2.2 节，对均非零的两个向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$，以下命题两两等价：

命题	出处
$D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$	第一章 3.4 节引理
$\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 不共线	第一章 3.3 节
$\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2$	第一章 3.5 节
$\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性无关	本章 2.2 节

代数（方程组只有零解）、几何（面积非零）、结构（无冗余、张成全平面）在判别式 $D$ 上会师——这正是"基"概念的入口。

3. 基与坐标

1. 定义（基）

若向量组 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 同时满足：

1. 够用：$\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2$（平面上任何向量都能表示成它们的线性组合）
2. 无冗余：$\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性无关（每个成员都不可替代）

则称 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。

通俗地说，基是平面的"最省料脚手架"：两个方向足够搭到平面任何角落（够用），而且一个都不能少（无冗余）。

注记：在 $\mathbb{R}^2$ 中，当向量个数恰为 2 时，条件 1 与条件 2 互相蕴含（2.3 节的等价表）——这是"向量个数等于维数"的二维巧合。但当向量个数不是 2 时二者不再等价：3 个向量可以够用却有冗余，1 个向量无冗余却不够用（见 3.6 节）。因此定义按两个条件给出，这套模式将原封不动地推广到高维。

2. 标准基

$$\mathbf{e}_1 = (1, 0), \qquad \mathbf{e}_2 = (0, 1)$$

• 够用：任何 $(x, y) = x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2$（第一章 3.1 节）
• 无冗余：$a\,\mathbf{e}_1 + b\,\mathbf{e}_2 = (a, b) = \mathbf{0}$ 迫使 $a = b = 0$

故 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ 是一组基，称为标准基。我们从小使用的"坐标"，就是向量关于标准基的组合系数。

3. 坐标：存在且唯一

定理（坐标的存在性与唯一性） 设 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基，则任意 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^2$ 恰有一对系数 $(a, b)$ 使

$$\mathbf{w} = a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v}$$

这对系数 $(a, b)$ 称为 $\mathbf{w}$ 在基 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 下的坐标。

证明：

存在性：由条件 1（张成），$\mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$，故至少存在一组表示。

唯一性：设有两组 $\mathbf{w} = a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v} = a'\,\mathbf{u} + b'\,\mathbf{v}$。两式相减（第一章减法定义与分配律）：

$$\mathbf{0} = \mathbf{w} - \mathbf{w} = (a - a')\,\mathbf{u} + (b - b')\,\mathbf{v}$$

由条件 2（无关），必须 $a - a' = 0$ 且 $b - b' = 0$，即两组系数相同。$\blacksquare$

存在性保证"到得了"，唯一性保证"导航指令唯一"——这正是"坐标"一词的全部含义。求解坐标只需解二元一次方程组，第一章 3.5 节的消元法已给出公式：

$$a = \frac{w_1 v_2 - w_2 v_1}{D}, \qquad b = \frac{u_1 w_2 - u_2 w_1}{D}, \qquad D = u_1 v_2 - u_2 v_1$$

分母非零正是"基"的保证（2.2 节判定定理）。

例如，取基 $\mathbf{u} = (1.5, 0.5)$，$\mathbf{v} = (-0.5, 1.5)$（$D = 2.5$），求 $\mathbf{w} = (2, 3)$ 的坐标：

$$a = \frac{2 \times 1.5 - 3 \times (-0.5)}{2.5} = \frac{4.5}{2.5} = 1.8, \qquad b = \frac{1.5 \times 3 - 0.5 \times 2}{2.5} = \frac{3.5}{2.5} = 1.4$$

代回验证：$1.8\,(1.5, 0.5) + 1.4\,(-0.5, 1.5) = (2.7 - 0.7,\; 0.9 + 2.1) = (2, 3)$。$\checkmark$（图 2-3）

4. 换基：坐标是"相对的"

同一个向量 $\mathbf{w} = (2, 3)$：

• 在标准基 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ 下，坐标是 $(2, 3)$
• 在斜基 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 下，坐标是 $(1.8, 1.4)$

向量本身没有变，坐标却变了——坐标是相对于基的读数，不是向量的固有属性。这就像同一座山，从南门与从北门测得的方位数据不同：山（向量）是客观的，读数（坐标）依赖于参照系（基）。基改变时坐标如何换算，是下一章（矩阵）的核心问题之一。

5. 基的最小性

定理 设 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 是基，则去掉任何一个向量后，张成严格变小：

$$\operatorname{span}\{\mathbf{u}\} \subsetneq \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2$$

证明：

首先 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}\} \subseteq \mathbb{R}^2$ 显然（第一章 3.6 节封闭性的特例）。要证严格小，需找一个属于 $\mathbb{R}^2$ 但不属于 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}\}$ 的向量——$\mathbf{v}$ 就是候选。

由无关性，$\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{u}$ 的倍数（否则由冗余定理相关）；而 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}\} = \{t\,\mathbf{u}\}$ 恰是 $\mathbf{u}$ 的全体倍数（第一章习题 1.5），故 $\mathbf{v} \notin \operatorname{span}\{\mathbf{u}\}$。$\blacksquare$

（图 2-4：完整的基铺满整个画布；去掉 $\mathbf{v}$ 后只剩一条黄色直线——“少一个方向，丢失整个平面”。）

这解释了"无冗余"的结构含义：基的每个成员都承担着不可替代的覆盖任务。因此基是最小的张成组——任何更少（只含 1 个向量）的组都张不成 $\mathbb{R}^2$。

6. 维数

基恰好含两个向量，这不是巧合，而是"二维"这个词的数学来源。

引理（三向量必相关） $\mathbb{R}^2$ 中任意三个向量 $\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r}$ 线性相关。

证明：

对 $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ 是否共线分类：

1. $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ 共线：由 1.3 节定理，存在不全为零的 $(\alpha, \beta)$ 使 $\alpha\,\mathbf{p} + \beta\,\mathbf{q} = \mathbf{0}$，于是

$$\alpha\,\mathbf{p} + \beta\,\mathbf{q} + 0 \cdot \mathbf{r} = \mathbf{0}$$

系数 $(\alpha, \beta, 0)$ 不全为零（$\alpha, \beta$ 至少一个非零），故 $\{\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r}\}$ 相关。

2. $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ 不共线：由第一章 3.5 节定理，$\operatorname{span}\{\mathbf{p}, \mathbf{q}\} = \mathbb{R}^2$，故 $\mathbf{r}$ 可表示为 $\mathbf{r} = a\,\mathbf{p} + b\,\mathbf{q}$（3.3 节存在性）。于是

$$(-a)\,\mathbf{p} + (-b)\,\mathbf{q} + 1 \cdot \mathbf{r} = \mathbf{0}$$

系数第三个为 $1 \neq 0$，不全为零，相关。$\blacksquare$

定理（基的大小唯一） $\mathbb{R}^2$ 的任何一组基都恰含 2 个向量。

证明：

一组基必须同时够用与无冗余：

• 不能只含 1 个向量：单个向量的张成是 $\{\mathbf{0}\}$ 或一条过原点的直线（第一章习题 1.5），达不到 $\mathbb{R}^2$——不够用。
• 不能含 3 个及以上向量：从中任取三个向量，由引理它们线性相关；把这三个的非零抵消组合补上系数 0（对应其余成员）后仍是整组的非零抵消组合，故整组线性相关——违反无冗余。（"部分相关则整体相关"的一般论证见习题 2.7。）
• 恰含 2 个是可行的：标准基即实例。$\blacksquare$

于是定义：$\mathbb{R}^2$ 的维数为

$$\dim \mathbb{R}^2 = 2$$

维数 = 基的大小 = 张成全平面所需的最少向量数 = 保持线性无关的最多向量数。它不依赖基的选择——任何基都恰含 2 个向量。

通俗地说，平面的"自由度"是 2：锁定平面上的一个向量需要且只需要 2 个独立读数。基就是这 2 个读数的测量方向——方向可以任选（不共线即可），但读数的个数（维数）是空间自身的属性，谁也改不了。

4. 演示图像

配套演示程序（仅依赖 C++ 标准库）把本章内容绘制为 PPM 图像，输出于 output/chapter2/ 目录。

图像文件	内容	对应正文
output/chapter2/fig_2_1_dependent.ppm	线性相关：共线冗余与非零抵消	图 2-1，1.2 与 2.1 节
output/chapter2/fig_2_2_independent.ppm	线性无关：斜坐标网	图 2-2，2.2 节
output/chapter2/fig_2_3_coordinates.ppm	基与坐标：换基与平行四边形分解	图 2-3，3.3 与 3.4 节
output/chapter2/fig_2_4_minimal.ppm	基的最小性：去掉一向量张成跌为直线	图 2-4，3.5 节

图 2-1（fig_2_1_dependent.ppm）：$\mathbf{u}=(2,1)$（红）与 $\mathbf{v}=(1,0.5)$（蓝）共线（$\mathbf{v} = 0.5\mathbf{u}$）。全部整数系数组合（橙色小点）无论怎样搭配都困在灰色直线上；绿色箭头 $2\mathbf{v}$ 恰好压在红色箭头 $\mathbf{u}$ 上——$\mathbf{u} - 2\mathbf{v} = \mathbf{0}$，一个非零组合把两个方向"抵消回零"，这就是线性相关的几何面貌。

图 2-2（fig_2_2_independent.ppm）：$\mathbf{u}=(1.5,0.5)$（红）与 $\mathbf{v}=(-0.5,1.5)$（蓝），$D = 2.5 \neq 0$，线性无关。青色线族是"$\mathbf{u}$ 坐标取定值"的点集（沿 $\mathbf{v}$ 方向的整条直线），黄色线族是"$\mathbf{v}$ 坐标取定值"的点集——两族线织成覆盖整个平面的斜坐标网。原点处的绿点标记唯一能"抵消回零"的组合 $0\mathbf{u} + 0\mathbf{v}$。

图 2-3（fig_2_3_coordinates.ppm）：$\mathbf{w} = (2,3)$（绿）在标准基下坐标为 $(2, 3)$；在斜基 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 下解得 $\mathbf{w} = 1.8\mathbf{u} + 1.4\mathbf{v}$。红色路径"先沿 $\mathbf{u}$ 方向走 1.8 步、再沿 $\mathbf{v}$ 方向走 1.4 步"与蓝色路径"先 $\mathbf{v}$ 后 $\mathbf{u}$"殊途同归于 $\mathbf{w}$ 的终点——平行四边形分解就是坐标的几何形象，两个橙色点标记中途落点 $a\mathbf{u}$ 与 $b\mathbf{v}$。

图 2-4（fig_2_4_minimal.ppm）：完整的基 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 的整数组合铺满整个画布（橙色点阵）；去掉 $\mathbf{v}$ 后，张成收缩为黄色直线——基中没有任何可删的成员，“少一个方向，丢失整个平面”。

5. 小结

概念	代数形式	几何形象
线性相关	存在非零系数使组合为零	方向冗余：可抵消回原点（图 2-1）
线性无关	组合为零 $\Rightarrow$ 系数全零	方向独立：除零外无法抵消（图 2-2）
冗余定理	相关 $\iff$ 一个是另一个的倍数	删掉冗余成员，张成不变
判别式判定	无关 $\iff D \neq 0$	平行四边形有面积
基	张成 $\mathbb{R}^2$ 且线性无关	恰好够用的两个方向
坐标	$\mathbf{w} = a\mathbf{u} + b\mathbf{v}$ 的唯一 $(a, b)$	斜方向上的导航指令（图 2-3）
最小性	去掉任何成员张成变小	少一个方向，丢失整个平面（图 2-4）
维数	$\dim \mathbb{R}^2 = 2$	自由度为 2

三条主线：

1. 相关/无关是"共线"的方程组语言：$D = 0 \iff$ 齐次方程组有非零解 $\iff$ 共线 $\iff$ 有冗余——判别式 $D$ 依然是唯一的判官。
2. 基 = 够用 + 无冗余：坐标是相对于基的读数，其唯一性恰由无关性保证；换基改变坐标，不改变向量。
3. 维数第一次获得精确定义：任何基都恰含 2 个向量——"二维"不再是日常语言，而是定理。

给定基，求坐标就是解线性方程组——下一章把解方程组的过程本身组织成一种新的对象（矩阵），让"换基"“求解”"变换"拥有统一的代数语言。

6. 习题

1. （定义辨析） 判断对错并说明理由：
   (a) 若 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 线性相关，则其中必有一个是零向量；
   (b) 任何包含零向量的向量组线性相关；
   © 若 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 且 $a = 0$，则 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性无关。
2. （判定计算） 用判别式 $D$ 判定下列向量组的相关性：
   (a) $(1, 2),\; (2, 4)$；
   (b) $(1, 2),\; (2, 3)$；
   © $(3, 0),\; (0, -3)$；
   (d) $\mathbf{0},\; (1, 1)$。
3. （证明） 设 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性无关，证明 $\{\mathbf{u} + \mathbf{v},\; \mathbf{u} - \mathbf{v}\}$ 也线性无关。（提示：设 $a(\mathbf{u}+\mathbf{v}) + b(\mathbf{u}-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$，用分配律整理为 $(a+b)\mathbf{u} + (a-b)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，再解关于 $a, b$ 的方程组。）
4. （坐标计算） 取基 $\mathbf{u} = (1, 1)$，$\mathbf{v} = (1, -1)$：
   (a) 求 $\mathbf{w} = (3, 1)$ 在该基下的坐标；
   (b) 求 $\mathbf{e}_1 = (1, 0)$ 在该基下的坐标——标准基的基向量在别的基下另有坐标，这正是"换基"。
5. （反例） 设 $\mathbf{u} = (1, 0)$，$\mathbf{v} = (2, 0)$（线性相关）。写出 $\mathbf{w} = (3, 0)$ 的两组不同表示，说明相关的组不能给出唯一坐标（对照 3.3 节唯一性定理中"无关"条件的作用）。
6. （证明） 证明：$\{\mathbf{u},\; \mathbf{u} + \mathbf{v}\}$ 线性无关 $\iff$ $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性无关。（两个方向的证明都可从"设组合为零，整理系数"入手。）
7. （推广） 设 $k \geq 3$，向量组中某三个成员线性相关。证明整组线性相关（3.6 节定理证明中用到的事实）。
8. （冗余定理的结构） 设 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 线性相关且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。证明 $\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}$：删掉冗余成员，张成不变（第一章习题 1.7 现在有了完整的理论武器）。
9. （编程） 修改演示 3（坐标分解）：另取 $\mathbf{w} = (1, 1)$，重新计算坐标并验证 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{w}$。观察平行四边形随 $\mathbf{w}$ 的变化。
10. （思考） 仿照本章，尝试写出 $\mathbb{R}^3$ 的理论框架：三个向量线性无关是什么意思？什么样的三个向量构成 $\mathbb{R}^3$ 的基？$\dim \mathbb{R}^3$ 应当是几？判别式 $D$ 的"三维类比"应当长什么样？（提示：对照习题 1.11 的"点→线→面→体"升维模式；$D$ 的类比将在行列式一章揭晓。）

3. 矩阵与线性方程组

上一章末尾留下的话头是：求坐标就是解线性方程组，而"解方程组的过程本身"值得被组织成一种新的对象。本章引入矩阵。表面上，矩阵只是一张两行两列的数表；实质上，它是线性映射的代数化身——四个数字封装了一个"搬运整个平面"的规则。我们将看到：同一张数表，既可按行读（方程组），也可按列读（向量的组合），还可当作变换读（把整个平面揉捏变形），三种读法互相翻译，是本章反复出现的主旋律。

1. 矩阵：线性映射的账本

1. 定义

定义（二阶矩阵与矩阵—向量乘法） 一个 $2 \times 2$ 矩阵 是四个数排成的方阵

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$$

它作用于向量 $\mathbf{v} = (x, y)$ 的结果定义为

$$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}.$$

即：新向量的第 $i$ 个分量 = 矩阵第 $i$ 行与 $\mathbf{v}$ 的逐项相乘再求和。这样，一个矩阵确定了一个规则 $\mathbf{v} \mapsto A\mathbf{v}$，把平面上的每个向量送到另一个向量。

例如

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix},$$

它把 $(1, 0)$ 送到 $(0, 1)$、把 $(0, 1)$ 送到 $(-1, 0)$——整个平面逆时针旋转了 $90^\circ$。矩阵是旋转的账本。

2. 列向量是基向量的去向

定理（列的意义） 设 $A$ 的第一列为 $\mathbf{a}_1 = (a, c)$，第二列为 $\mathbf{a}_2 = (b, d)$，则对任意 $\mathbf{v} = (x, y)$ 有

$$A\mathbf{v} = x\,\mathbf{a}_1 + y\,\mathbf{a}_2.$$

证明：直接按定义展开两个分量：

$$A\mathbf{v} = (ax + by,\; cx + dy) = (x a + y b,\; x c + y d) = x(a, c) + y(b, d) = x\mathbf{a}_1 + y\mathbf{a}_2.$$

其中第二步交换了乘法次序（数的交换律），第三步用第一章向量加法与数乘的定义。$\blacksquare$

通俗地说：想知道一个矩阵把平面揉成什么样，只需看它把两个基向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 送到哪里——第一列是 $\mathbf{e}_1$ 的去向，第二列是 $\mathbf{e}_2$ 的去向。任意向量 $(x, y)$ 的像不过是这两个去向按 $x : y$ 加权求和。矩阵的全部信息浓缩在两个列向量里，其余行为都是线性性的自动结果。图 3-1 把整个标准网格变到新位置的，正是列向量 $(1.5, 1)$ 与 $(-0.5, 1)$。

3. 线性映射的完整刻画

定义（线性映射） 称规则 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 为线性映射，若对一切向量与数满足：

公理	数学表达式
保加法	$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\mathbf{u} + T\mathbf{v}$
保数乘	$T(t\mathbf{v}) = t\, T\mathbf{v}$

合并二者得 $T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = a\,T\mathbf{u} + b\,T\mathbf{v}$：线性映射与线性组合可交换次序——先组合再变换，等于先变换再组合。

定理（矩阵 = 线性映射）

（i）每个矩阵按 $\mathbf{v} \mapsto A\mathbf{v}$ 定义一个线性映射。

（ii）反之，每个线性映射 $T$ 都由唯一矩阵 $A_T$ 实现：$A_T$ 的两列恰为 $T\mathbf{e}_1$ 与 $T\mathbf{e}_2$。

证明：（i）保加法：

$$A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (u_x + v_x)\mathbf{a}_1 + (u_y + v_y)\mathbf{a}_2 = (u_x \mathbf{a}_1 + u_y \mathbf{a}_2) + (v_x \mathbf{a}_1 + v_y \mathbf{a}_2) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v},$$

第一、三步用了列的意义定理，第二步用第一章向量的加法公理（分量各自相加）。保数乘同理：$A(t\mathbf{v}) = (t v_x)\mathbf{a}_1 + (t v_y)\mathbf{a}_2 = t(v_x \mathbf{a}_1 + v_y \mathbf{a}_2) = t A\mathbf{v}$。

（ii）任取 $\mathbf{v} = (x, y) = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2$。由线性性，

$$T\mathbf{v} = T(x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2) = x\,T\mathbf{e}_1 + y\,T\mathbf{e}_2.$$

可见 $T$ 的行为完全被 $T\mathbf{e}_1,\; T\mathbf{e}_2$ 决定；把这两个向量竖着排成两列得到矩阵 $A_T$，上式说明 $T\mathbf{v} = A_T \mathbf{v}$ 对一切 $\mathbf{v}$ 成立。若另一矩阵 $B$ 也实现 $T$，则两矩阵作用在 $\mathbf{e}_1$ 上给出相同结果，即第一列相同；同理第二列相同，故 $B = A_T$。$\blacksquare$

通俗地说："矩阵"与"线性映射"是一枚硬币的两面——矩阵是映射的坐标记录，映射是矩阵的几何动作。这条定理保证我们在两者间来回翻译时不会走失：谈几何时想映射，做计算时用矩阵。

2. 矩阵的运算

1. 加法与数乘：矩阵自身构成线性空间

按分量相加、逐项乘数：

$$A + B = \begin{pmatrix} a + a' & b + b' \\ c + c' & d + d' \end{pmatrix},\qquad s A = \begin{pmatrix} sa & sb \\ sc & sd \end{pmatrix}.$$

几何上，$A + B$ 不是"两个变换的先后执行"，而是逐点叠加：$(A+B)\mathbf{v} = A\mathbf{v} + B\mathbf{v}$（对一切 $\mathbf{v}$），像的向量和向量的和一样遵守平行四边形法则。这一性质说明映射的加法继承了向量的加法。

更深入地看：全体 $2 \times 2$ 矩阵在上述加法与数乘下自身构成一个线性空间——八个基向量取

$$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$

则任何 $A = a E_{11} + b E_{12} + c E_{21} + d E_{22}$，且表示唯一。也就是说矩阵空间是四维的：$\dim M_2(\mathbb{R}) = 4$。"矩阵是向量"不是修辞，而是严格的空间成员资格（第五章将把这条线索推广成抽象线性空间理论）。

2. 乘法：复合的代数

定义（矩阵乘法）

$$AB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{pmatrix}.$$

这个看似任意的公式有唯一目的：让矩阵乘法对应映射的复合。

定理（乘法 = 复合） 对一切向量 $\mathbf{v}$：$(AB)\mathbf{v} = A(B\mathbf{v})$。即"先用 $B$ 变换、再用 $A$ 变换"的合成动作，恰好由矩阵 $AB$ 一次完成。

证明：记 $B$ 的两列为 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2$。对 $\mathbf{v} = (x, y)$，由列的意义定理，$B\mathbf{v} = x\mathbf{b}_1 + y\mathbf{b}_2$。再用线性性：

$$A(B\mathbf{v}) = A(x\mathbf{b}_1 + y\mathbf{b}_2) = x\,(A\mathbf{b}_1) + y\,(A\mathbf{b}_2).$$

另一方面，$AB$ 的第 $j$ 列等于 $AB\mathbf{e}_j = A(B\mathbf{e}_j) = A\mathbf{b}_j$（在复合式中取 $\mathbf{v} = \mathbf{e}_j$——严格地说，这里我们先承认 $AB$ 的列由该式定义，下面直接验证按定义展开的乘法公式给出同样的列）：$A\mathbf{b}_1 = A(a', c')^{\mathsf T} = (a a' + b c',\; c a' + d c')^{\mathsf T}$，这正是 $AB$ 的第一列按乘法公式算出的结果；第二列同理。于是

$$(AB)\mathbf{v} = x\,(AB\mathbf{e}_1) + y\,(AB\mathbf{e}_2) = x\,(A\mathbf{b}_1) + y\,(A\mathbf{b}_2) = A(B\mathbf{v}). \blacksquare$$

通俗地说：矩阵乘法的"行乘列"规则不是背出来的，是被"复合"逼出来的——想一次记录"先 $B$ 后 $A$"的总效果，别无选择。从现在起可以放心写 $AB\mathbf{v}$ 而不加括号：无论先复合还是先作用，结果一致。这也立即给出结合律 $(AB)C = A(BC)$：两侧作用于任何向量都等于 $A\mathbf{v} \leftarrow C$ 先行、$A$ 最后收尾的同一动作，由矩阵 = 线性映射的唯一性即得。

3. 不可交换性

命题（次序即信息） 一般地 $AB \neq BA$。

反例：取剪切 $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 与旋转 $90^\circ$ 的 $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。计算两个乘积：

$$RS = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad SR = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},$$

两者在第二列已经不同。几何上看更直接：取 $\mathbf{v} = (2.5, 0.5)$，"先剪后旋"把剪切后的水平推斜再整体转 $90^\circ$；"先旋后剪"则先把向量转进第二象限再沿新坐标轴剪切——两条路线到达不同终点（图 3-4，红色 $RS\mathbf{v}$ 与蓝色 $SR\mathbf{v}$ 分道扬镳）。

通俗地说：复合映射不可交换，正如"穿衣再洗漱"与"洗漱再穿衣"次序不同结果不同。这不是矩阵的缺陷，而是变换世界的真实秩序——代数上表现为 $AB \neq BA$，几何上表现为路线分歧。

4. 转置与单位矩阵

定义（转置） $A^{\mathsf T}$ 是行列互换后的矩阵：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$。若 $A = A^{\mathsf T}$（即 $b = c$），称 $A$ 对称。

单位矩阵 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是恒等映射的账本：$I\mathbf{v} = \mathbf{v}$。基本性质汇总：

性质	数学表达式	几何意义
左右单位元	$IA = AI = A$	恒等变换不改变复合结果
转置反转次序	$(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$	行与列互换后复合倒序
双重转置	$(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$	两次互换回到自身
对称性	$A^{\mathsf T} = A \iff b = c$	沿对角线镜像不变

其中 $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ 可按分量直接验证（左右两侧的 $(1,1)$ 元均为 $a a' + b c'$ 等等）；其深层含义将在第七、八章浮现——对称矩阵对应"沿正交镜面伸缩"的变换，转置则与内积紧密相关。

3. 线性方程组的三重视角

同一个方程组

$$\begin{cases} 1.5a - 0.5b = 2 \\ 0.5a + 1.5b = 3 \end{cases}$$

可以用三种方式读，三种读法对应三张不同的图像。

1. 行视角：两直线求交

每个方程是一条直线：$1.5a - 0.5b = 2$ 与 $0.5a + 1.5b = 3$。方程组的解 $(a, b) = (1.8,\; 1.4)$ 是两直线的交点（图 3-2，红色与蓝色直线相交于绿色点）。

直线何时无交点（平行）？两直线

$$\alpha_1 a + \beta_1 b = \gamma_1,\qquad \alpha_2 a + \beta_2 b = \gamma_2$$

平行（或重合）当且仅当方向向量 $(\alpha_1, \beta_1)$ 与 $(\alpha_2, \beta_2)$ 共线，即判别式 $\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1 = 0$。第二章的判别式 $D$ 再次现身——它判定两行是否"指向同一个方向"。

2. 列视角：凑出目标向量

把未知数当系数、把列当向量：

$$a\begin{pmatrix} 1.5 \\ 0.5 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} -0.5 \\ 1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix},$$

即 $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{w}$。解方程组 = 求 $\mathbf{w}$ 在基 $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ 下的坐标——这正是第二章 3.3 节的内容，逐字重合。消元法给出的解

$$a = \frac{w_1 v_2 - w_2 v_1}{D},\qquad b = \frac{u_1 w_2 - u_2 w_1}{D},\qquad D = u_1 v_2 - u_2 v_1$$

中，$D$ 恰是系数矩阵 $\begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$ 的判别式（下一章将命名为行列式）。

3. 变换视角：寻找原像

设 $A$ 是以 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 为列的矩阵，方程组即 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中 $\mathbf{x} = (a, b)$、$\mathbf{b} = \mathbf{w}$。解方程组 = 找出被 $A$ 送到 $\mathbf{b}$ 的所有向量 $\mathbf{x}$（原像）。这一视角把解的存在唯一性问题转化为映射的性质问题：

情形	判别式	几何图像	解集
$D \neq 0$	两列不共线	$A$ 把平面一对一铺满平面	唯一解 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
$D = 0$，$\mathbf{b} \notin$ 列空间	两列共线，$\mathbf{b}$ 不在其张成的直线上	平面被压扁成直线，$\mathbf{b}$ 在线外	无解
$D = 0$，$\mathbf{b} \in$ 列空间	$\mathbf{b}$ 恰在压扁后的直线上	整条直线的向量被送到同一个 $\mathbf{b}$	无穷多解（一条直线）

通俗地说：三重视角是同一枚三棱镜——行视角看"约束的交点"，列视角看"组合的配比"，变换视角看"变换的追溯"。它们不谋而合地指向同一个判官 $D$：$D \neq 0$ 时三问同答（唯一解），$D = 0$ 时三问同陷入"退化"。这种"殊途同归"正是线性代数结构感的来源。

4. 逆矩阵

1. 定义与求法

定义（可逆与逆矩阵） 若存在矩阵 $B$ 使 $AB = BA = I$，则称 $A$ 可逆，$B$ 记作 $A^{-1}$。几何上：$A^{-1}$ 是撤销 $A$ 的变换——先搬过去再搬回来，等于什么都没做。

定理（逆矩阵公式） 设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 且 $\det A = ad - bc \neq 0$，则 $A$ 可逆，且

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

证明：直接验算两个乘积。主对角线：

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & -ab + ab \\ cd - dc & -bc + ad \end{pmatrix} = (ad - bc) I,$$

除以 $\det A = ad - bc$ 即得 $A A^{-1} = I$。反向乘积逐项同样验算：$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = (ad-bc) I$。$\blacksquare$

公式中 $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$（主对角线互换、副对角线变号）称为 $A$ 的伴随矩阵，记 $\operatorname{adj} A$；口诀：主换副变号，除以行列式。

解方程组的矩阵语言：$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 且 $A$ 可逆时，两侧左乘 $A^{-1}$：$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$。把逆矩阵公式代入并乘开，得到的恰是第一章消元法与第二章坐标公式：

$$\mathbf{x} = \frac{1}{D}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{D}\begin{pmatrix} d w_1 - b w_2 \\ -c w_1 + a w_2 \end{pmatrix},$$

在 $\mathbf{u} = (a, c)$、$\mathbf{v} = (b, d)$ 的记号下即 $a = (w_1 v_2 - w_2 v_1)/D$、$b = (u_1 w_2 - u_2 w_1)/D$。消元法、坐标公式、逆矩阵是同一件事的三套记号。

2. 可逆性的等价刻画

定理（可逆性判据） 下列命题等价：

① $\det A \neq 0$；　② $A$ 可逆；　③ $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解；　④ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 对一切 $\mathbf{b}$ 有解；　⑤ $A$ 把线性无关组送到线性无关组。

证明：② $\Rightarrow$ ③：若 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，左乘 $A^{-1}$ 得 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$。③ $\Rightarrow$ ①（逆否）：若 $\det A = 0$，则两列共线，设第二列 $= t$ 倍第一列，则 $A(t, -1)^{\mathsf T} = t \mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$，有非零解 $(t, -1) \neq (0,0)$，与③矛盾。① $\Rightarrow$ ②：逆矩阵公式。④ $\Rightarrow$ ①（逆否）：若 $\det A = 0$，两列张成一条直线，直线外的 $\mathbf{b}$（例如任一与列向量不共线的向量）无解。① $\Rightarrow$ ④：对每个 $\mathbf{b}$，$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 是解。③ $\Leftrightarrow$ ⑤：$\{ A\mathbf{u}, A\mathbf{v} \}$ 相关 $\iff$ 有非零 $(a, b)$ 使 $a A\mathbf{u} + b A\mathbf{v} = A(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ $\iff$ $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \in \ker A$；③ 说 $\ker A = \{\mathbf{0}\}$，代入即见等价。$\blacksquare$

通俗地说：可逆的几何本质是"不丢信息"。$\det A \neq 0$ 意味着两列不共线，平面被一对一地铺满整个平面，像和原像之间可以互相追溯；$\det A = 0$ 意味着某个方向被压扁（甚至整个平面被压成一条线），多个原像重叠成同一个像，像再也无法拆回原像——信息一旦被压扁就不可能无损恢复，这正是不可逆的物理含义。

3. 逆的运算性质

性质	数学表达式	几何意义
逆的逆	$(A^{-1})^{-1} = A$	撤销"撤销"就是原始动作
倒序法则	$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$	先穿鞋后穿袜脱的次序反：脱时先脱鞋（后脱的先撤）
转置的逆	$(A^{\mathsf T})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf T}$	行列互换与撤销互不干扰

倒序法则的验证：$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I B = I$，另一侧同理。

5. 像与核：变换的骨架

1. 定义

定义（像与核） 设 $A$ 是矩阵，定义

$$\operatorname{im} A = \{ A\mathbf{v} : \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 \},\qquad \ker A = \{ \mathbf{v} : A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}.$$

像（image，又称列空间）是变换能"够到"的全体向量；核（kernel，又称零空间）是被送到零向量的全体向量。

命题（两者都是子空间且各由列向量控制）

（i）$\operatorname{im} A = \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\}$（列向量张成的集合）；

（ii）$\ker A = \{\mathbf{0}\} \iff \{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\}$ 线性无关 $\iff \det A \neq 0$；若 $\det A = 0$，则 $\ker A$ 是一条过原点的直线。

证明：（i）$\mathbf{w} \in \operatorname{im} A \iff$ 存在 $(x, y)$ 使 $\mathbf{w} = x\mathbf{a}_1 + y\mathbf{a}_2 \iff \mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\}$（用了列的意义定理）。（ii）$\mathbf{v} = (x, y) \in \ker A \iff x\mathbf{a}_1 + y\mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$。若两列无关，仅零组合成立，故 $\ker A = \{\mathbf{0}\}$；若相关（共线）且不全为零列，则齐次方程有一维解集——一条过原点的直线（第一章习题的齐次情形；若 $A = O$ 零矩阵，$\ker A = \mathbb{R}^2$ 是整个平面，即两维退化情形）。$\blacksquare$

通俗地说：像回答"变换能到达哪里"，核回答"谁会在变换中消失"。两者是一对互补的骨架：$\det A \neq 0$ 时像满（整个平面）而核空（无人消失）——满射与单射同时成立；$\det A = 0$ 时像瘪成一条直线，同时核膨胀成一条直线——丢了多少维，就多余多少维。

2. 秩与秩一矩阵

定义（秩） $\operatorname{rank} A = \dim(\operatorname{im} A)$，即像空间的维数（张成像所需的最少方向数）。

在 $2 \times 2$ 情形秩只有三种取值：

秩	列向量状况	像	核	几何动作
$2$	两列不共线（$\det A \neq 0$）	整个平面	$\{\mathbf{0}\}$	一对一铺满（可逆）
$1$	两列共线且至少一列非零	一条直线	一条直线	平面压扁到直线
$0$	两列全为零	$\{\mathbf{0}\}$	整个平面	一切归零

每一行都验证了同一个等式

$$\dim(\operatorname{im} A) + \dim(\ker A) = 2 = \dim \mathbb{R}^2,$$

秩一零化度定理在 $\mathbb{R}^2$ 的特例。第五章将证明它对任意维数成立。

秩 1 矩阵有一个漂亮的代数结构——它必是外积：

命题（秩 1 = 外积） $\operatorname{rank} A = 1$ 当且仅当存在非零列向量 $\mathbf{u}$ 与非零行向量 $\mathbf{w}^{\mathsf T}$ 使 $A = \mathbf{u}\mathbf{w}^{\mathsf T}$，即

$$A = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} w_1 & w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 w_1 & u_1 w_2 \\ u_2 w_1 & u_2 w_2 \end{pmatrix}.$$

证明：（$\Leftarrow$）两列 $(u_1, u_2) w_1$ 与 $(u_1, u_2) w_2$ 都是 $\mathbf{u}$ 的倍数；因 $\mathbf{u}, \mathbf{w}$ 均非零，$w_1, w_2$ 至少一个非零，故至少一列非零，两列张成一条直线，秩为 1。（$\Rightarrow$）秩 1 时两列共线且至少一列非零：取任一非零列作 $\mathbf{u}$，则两列分别 $= s\mathbf{u}$ 与 $= t\mathbf{u}$（$s, t$ 中至少一个非零），取 $\mathbf{w}^{\mathsf T} = (s, t)$ 即可（$\mathbf{w}$ 亦非零）。$\blacksquare$

通俗地说：外积 $\mathbf{u}\mathbf{w}^{\mathsf T}$ 的动作分两步理解——先把每个向量投影到方向 $\mathbf{w}$ 上读出一个数（$\mathbf{w}^{\mathsf T}\mathbf{v}$），再把这个数放大成 $\mathbf{u}$ 方向上的长度。全体向量先被压扁到一条数轴，再沿一根指定的箭头重新射出：“读数—重发”。图 3-3 中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$（外积 $(1,2)^{\mathsf T}(1, 2)$）把一圈向量全部压到橙色直线 $\operatorname{span}\{(1,2)\}$ 上，而蓝色直线 $\operatorname{span}\{(2,-1)\}$ 上的向量全部消失——它们是核。

6. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter3，生成图像位于 output/chapter3：

图号	文件	内容
图 3-1	fig_3_1_matrix_grid.ppm	矩阵作用于标准网格
图 3-2	fig_3_2_line_intersect.ppm	解方程组 = 两直线求交
图 3-3	fig_3_3_rank1_collapse.ppm	秩 1 矩阵：压扁与消失
图 3-4	fig_3_4_composition.ppm	复合不可交换

图 3-1（fig_3_1_matrix_grid.ppm）：$A = \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 作用于整个标准网格（淡色原网格留作对照）：网格线仍是直线且等距平行线保持等距（线性性的宏观写照），红色箭头 $A\mathbf{e}_1 = (1.5, 1)$、蓝色箭头 $A\mathbf{e}_2 = (-0.5, 1)$ 就是矩阵的两列——看两支箭头，就知道整个网格的去向。

图 3-2（fig_3_2_line_intersect.ppm）：行视角的图像：在系数平面 $(a, b)$ 中，两个分量方程各是一条直线（红与蓝），解 $(1.8, 1.4)$ 是交点（绿）。「解方程组」在几何上被还原为最古老的作图：找交点。

图 3-3（fig_3_3_rank1_collapse.ppm）：秩 1 矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$：一圈输入向量（灰）的像（绿）全部落在橙色像直线上；蓝色核直线上的向量（及其平行线）整体归零。像损失一维、核补上一维——秩一零化度的直观写照。

图 3-4（fig_3_4_composition.ppm）：剪切 $S$ 与旋转 $90^\circ$ 的 $R$：同一向量 $\mathbf{v}$ 先剪后旋（红）与先旋后剪（蓝）到达不同位置，中间结果 $S\mathbf{v}$、$R\mathbf{v}$ 以橙点标记——复合的次序本身就是信息。

7. 小结

概念	代数形式	几何形象
矩阵	$2\times 2$ 数表	线性映射的账本
列的意义	$A\mathbf{v} = x\mathbf{a}_1 + y\mathbf{a}_2$	列是基向量的去向（图 3-1）
乘法	行乘列公式	变换的复合（图 3-4）
方程组	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	交点 / 坐标 / 原像三重视角（图 3-2）
逆矩阵	$\operatorname{adj} A / \det A$	撤销变换
可逆	$\iff \det A \neq 0$	一对一铺满，不丢信息
像与核	列空间 / 零空间	够到哪里 / 谁会消失（图 3-3）
秩	$\dim \operatorname{im} A$	变换后剩下的自由度
秩一零化度	$\operatorname{rank} + \dim \ker = 2$	压扁多少维，就多余多少维

三条主线：

1. 矩阵与线性映射一一对应：列是基向量的去向，乘法是复合，逆是撤销——每条代数规则都被一条几何事实支撑，反之亦然。
2. 解方程组 = 求原像：行视角（交点）、列视角（坐标）、变换视角（原像）互相翻译，可逆性定理与三种视角同时给出解的存在唯一性。
3. 退化由判别式统一度量：$\det A = 0$ ⟺ 列共线 ⟺ 压扁 ⟺ 不可逆 ⟺ 有向量消失——一个数裁决了变换的全部命运，这个数的完整身份将在下一章揭晓。

8. 习题

1. （计算） 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$\mathbf{v} = (1, 2)$。求 $A\mathbf{v}$，并验证它等于 $1\cdot(\text{第一列}) + 2\cdot(\text{第二列})$（列的意义定理）。
2. （求逆） 求下列矩阵的逆（或证明不可逆）：
   (a) $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$；
   (b) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$；
   © 旋转 $60^\circ$ 的矩阵 $\begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$（答案应是一个旋转——验证你的结果）。
3. （不可交换） 取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $AB$ 与 $BA$，求出差别，并在几何上描述两个复合动作的区别（谁水平剪切谁垂直剪切）。
4. （解方程组） 用逆矩阵求解 $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$，再用行视角（画两条直线）验证。
5. （证明） 证明：若 $A$ 可逆且 $AB = AC$，则 $B = C$（左消去律）。举例说明 $A$ 不可逆时消去律失效（提示：取秩 1 矩阵与两列相同的 $B, C$）。
6. （像与核） 对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$：求出 $\operatorname{im} A$ 与 $\ker A$（各是一条直线），验证两直线互相垂直（这是巧合还是必然？对照第七章——答案与对称性有关）。
7. （外积） 把 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ 写成外积 $\mathbf{u}\mathbf{w}^{\mathsf T}$，并指出它的像直线与核直线的方向。
8. （矩阵空间） 证明：全体 $2\times 2$ 矩阵在矩阵加法与数乘下满足第一章的八条向量公理，从而 $M_2(\mathbb{R})$ 是四维线性空间，$\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}$ 是它的一组基。
9. （对称与反对称） 任何矩阵可分解 $A = \tfrac{1}{2}(A + A^{\mathsf T}) + \tfrac{1}{2}(A - A^{\mathsf T})$，前者对称、后者反对称（$B^{\mathsf T} = -B$）。验证这一分解，并问：反对称矩阵的形状是什么（设 $B = \begin{pmatrix} 0 & t \\ -t & 0 \end{pmatrix}$，它是什么几何变换）？
10. （编程） 修改演示 1：把矩阵换为 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（旋转）与 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（剪切），分别观察网格如何变形。旋转保持网格的方格形状吗？剪切呢？（为第七、八章的"正交变换 vs 一般变换"埋下伏笔。）

4. 行列式

判别式 $D$ 已在本书中三度现身：第一章它是平行四边形的面积，第二章它是无关性的判官，第三章它裁决可逆性。本章为它正式命名——行列式，并把它当作主角彻底研究：它既是代数对象（一个关于矩阵列向量的函数），也是几何对象（面积缩放因子与定向）。我们会证明它的全部基本性质，包括最重要的乘法公式 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$，并用公理化的眼光重新审视：行列式是被"面积"三条件唯一逼出来的函数。

1. 定义

1. 定义：判别式的正名

定义（行列式） 矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的行列式定义为

$$\det A = ad - bc.$$

它等于前两章反复出现的判别式 $D = u_1 v_2 - u_2 v_1$（把两列取为 $\mathbf{u} = (a, c)$、$\mathbf{v} = (b, d)$）。记号也写作

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$$

口诀：主对角线之积减副对角线之积。例：$\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 12 - 2 = 10$；剪切矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的行列式恒为 1；旋转矩阵 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 的行列式恒为 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。

2. 三重几何身份

第一章已证 $|\det A|$ 等于两列张成的平行四边形面积（3.7 节剪切证明）。本章再赋予它两个更深层的身份：

身份	含义	出场章节
面积	$	\det A
定向	$\det A < 0 \iff$ 平面被镜像翻转	本章 3 节、图 4-3
缩放因子	任何区域 $S$ 的像 $A(S)$ 满足 $ \operatorname{area}(A(S)) =	\det A

通俗地说：行列式把一个变换对面积、定向的全部影响压缩成一个数。$|\det|$ 告诉你面积放大几倍，$\operatorname{sign}(\det)$ 告诉你平面有没有被翻个面。零则宣告区域被压扁——可逆性丧失（第三章）。

2. 行列式与面积

1. 有向面积

定义（有向面积） 规定基向量对 $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ 的定向为正（逆时针）。对列向量对 $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$，定义有向面积：

$$[\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \det \begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1,$$

即从 $\mathbf{u}$ 转到 $\mathbf{v}$ 若为逆时针则取正面积，顺时针取负。

命题（定向判别） $[\mathbf{u}, \mathbf{v}] > 0 \iff$ 从 $\mathbf{u}$ 沿不超过 $180^\circ$ 的转角到 $\mathbf{v}$ 是逆时针方向；$[\mathbf{u}, \mathbf{v}] < 0 \iff$ 顺时针；$= 0 \iff$ 共线。

证明（设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 均非零，极坐标 $\mathbf{u} = r(\cos\alpha, \sin\alpha)$、$\mathbf{v} = s(\cos\beta, \sin\beta)$，$0 \le \alpha, \beta < 2\pi$）：

$$[\mathbf{u}, \mathbf{v}] = u_1 v_2 - u_2 v_1 = r s(\cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta) = r s \sin(\beta - \alpha).$$

因 $r s > 0$，符号完全由 $\sin(\beta - \alpha)$ 决定：差角在 $(0, \pi)$（从 $\mathbf{u}$ 逆时针转不到半圆即达 $\mathbf{v}$）时为正；在 $(-\pi, 0)$（顺时针）时为负；差角为 $0$ 或 $\pm\pi$（共线）时为零。$\blacksquare$

通俗地说：有向面积是带符号的面积——两个向量除了"张多大的面"还携带着"旋向"信息。叉着手指比一下：从第一列转到第二列是逆时针，记正；顺时针，记负。这个符号将在图 4-3 中以"镜像翻转"的面貌出现。

2. 面积缩放因子

定理（缩放因子） 设 $A$ 可逆，$S$ 是平面上任一"有面积"的区域（可被网格逼近），$A(S) = \{ A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in S \}$ 是其像，则

$$\operatorname{area}(A(S)) = |\det A| \cdot \operatorname{area}(S).$$

证明思路（用第一章的工具严格化）：把 $S$ 用标准网格的正方胞腔逼近。每个小正方形胞腔由 $\varepsilon \mathbf{e}_1, \varepsilon \mathbf{e}_2$ 张成，其像是由 $\varepsilon \mathbf{a}_1, \varepsilon \mathbf{b}_1$（矩阵的两列缩小 $\varepsilon$ 倍）张成的小平行四边形，面积为 $\varepsilon^2 |\det A|$，恰好是原面积 $\varepsilon^2$ 的 $|\det A|$ 倍。胞腔互不重叠地拼合（可逆时 $A$ 一对一），像也互不重叠，总面积按同一倍数缩放，取极限即得。$\blacksquare$

通俗地说：不需要知道区域的形状，只需要知道它被 $A$ 变换——面积一律乘上同一个数 $|\det A|$。图 4-1 中 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$（$\det = 3$）把单位正方形变成面积恰为 3 的平行四边形。这个结论是多元微积分中换元公式（雅可比行列式）的二维雏形：积分换元时 $dx\,dy$ 要乘 $|\det A|$ 才变成新坐标下的面积元。

3. 剪切保面积

剪切矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的行列式为 1，故剪切不改变任何区域的面积。这不是巧合而是第一章 3.7 节"剪切引理"（平行四边形剪拼成等积矩形）的矩阵翻版：行列式为 1 的变换保持面积，几何上如同把一摞卡片推斜——形状变了，张数（面积）没变（图 4-2）。

3. 行列式的代数性质

1. 基本性质表

把行列式看作两列的函数 $f(\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2)$：

性质	数学表达式	几何意义
转置不变	$\det A^{\mathsf T} = \det A$	行与列地位对称
双线性	$f(a\mathbf{u} + a'\mathbf{u}', \mathbf{v}) = a f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + a' f(\mathbf{u}', \mathbf{v})$（列二同理）	有向面积随列向量线性变化
反对称（交换变号）	$f(\mathbf{v}, \mathbf{u}) = -f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$	交换旋向，定向翻转
退化	$\det A = 0 \iff$ 两列共线	平行四边形压扁无面积
单位矩阵	$\det I = 1$	单位变换不缩放、不翻转
数乘	$\det(sA) = s^2 \det A$	两列都拉长 $s$ 倍，面积乘 $s^2$
逆	$\det(A^{-1}) = 1/\det A$	撤销缩放：倍数取倒数

证明选讲：（反对称）$[\mathbf{v}, \mathbf{u}] = v_1 u_2 - v_2 u_1 = -(u_1 v_2 - u_2 v_1) = -[\mathbf{u}, \mathbf{v}]$。（双线性）对列一线性：

$$[a\mathbf{u} + a'\mathbf{u}', \mathbf{v}] = (a u_1 + a' u_1') v_2 - (a u_2 + a' u_2') v_1 = a[u_1 v_2 - u_2 v_1] + a'[u_1' v_2 - u_2' v_1],$$

仅用了数的分配律。（转置不变）$\det A^{\mathsf T} = ca - db$？直接算：$A^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$，$\det A^{\mathsf T} = ad - cb = ad - bc = \det A$。（数乘）$sA$ 的两列都是原来的 $s$ 倍，由双线性提出两个 $s$ 因子。（逆）由下一节的乘法公式：$1 = \det I = \det(A A^{-1}) = \det A \cdot \det A^{-1}$。$\blacksquare$

特别地，反对称蕴含列相等则行列式为零（$f(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = -f(\mathbf{u}, \mathbf{u})$ 迫使 $f = 0$）——几何上：两列重合，平行四边形退化为线段。

2. 公理化刻画（深入）

定理（行列式的唯一性） 设函数 $f$ 消费一对列向量、输出一个数，满足：

（i）对每个列向量线性（双线性）；（ii）交换两列变号（反对称）；（iii）$f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = 1$（在标准正方形上归一）。

则 $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = u_1 v_2 - u_2 v_1$，即行列式是满足三条件的唯一函数。

证明：把两列按标准基展开：$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2$、$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2$。反复使用双线性展开：

$$f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u_1 v_1 f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1) + u_1 v_2 f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) + u_2 v_1 f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1) + u_2 v_2 f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2).$$

由反对称，$f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1) = f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2) = 0$，$f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1) = -f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = -1$。代入：

$$f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u_1 v_2 \cdot 1 + u_2 v_1 \cdot (-1) = u_1 v_2 - u_2 v_1. \blacksquare$$

通俗地说：行列式不是被"定义"出来的，而是被三条件逼出来的——想找一个函数既线性地响应每列的伸缩叠加，又对交换列向敏感，还把标准方形认作 1，别无选择，只有 $ad - bc$。这三条公理正是"有向面积"的全部直觉：面积随边线性增长、交换两边定向翻转、单位方形面积为一。高阶行列式的定义正是照搬这三条公理——这是本节最重要的启示：公理是定义的推广路线图。

4. 乘法公式

定理（乘法公式） 对任意两个 $2 \times 2$ 矩阵：

$$\det(AB) = \det A \cdot \det B.$$

代数证明：设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}$。则

$$AB = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{pmatrix},$$

$$\det(AB) = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc').$$

展开八个乘积项：

$$= a a' c b' + a a' d d' + b c' c b' + b c' d d' - a b' c a' - a b' d c' - b d' c a' - b d' d c'.$$

八项中两对相消：$a a' c b' - a b' c a' = 0$ 与 $b c' d d' - b d' d c' = 0$（数的乘法交换律使每对互为相反数）。余下四项按 $\det A$ 的两项分组，各自提出公因子：

$$\det(AB) = (a a' d d' - a b' d c') + (b c' c b' - b d' c a') = ad\,(a'd' - b'c') - bc\,(a'd' - b'c') = (ad - bc)(a'd' - b'c'),$$

即 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$。$\blacksquare$

几何证明（更有启发）：把 $B$ 先作用于区域 $S$，面积乘 $|\det B|$；再作用 $A$，面积乘 $|\det A|$。合成的 $AB$ 一次完成两个动作，面积乘积为

$$\operatorname{area}(AB(S)) = |\det A| \cdot |\det B| \cdot \operatorname{area}(S),$$

对照缩放因子定理即知 $|\det(AB)| = |\det A||\det B|$。定向同理跟踪符号：两次翻转抵消（负负得正）、一次翻转变号，符号也严格相乘——故不必取绝对值。（严格的符号论证需要缩放因子定理对有向面积成立，这一推广是自然的：有向面积同样按倍数缩放且保留符号信息。）$\blacksquare$

通俗地说：代数证明是技巧的堆积，几何证明一句话讲完——复合的缩放 = 缩放的复合。图 4-4 演示：放大 2 倍（$\det = 4$）再旋转 45°（$\det = 1$），总效果面积仍放大 4 倍：$4 \times 1 = 4$。乘法公式从此不再是需要背诵的恒等式，而是"面积因子可以约分"的常识。

5. 应用

1. 克拉默法则

定理（克拉默法则） 设 $\det A \neq 0$，方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解为

$$x_1 = \frac{\det A_1}{\det A},\qquad x_2 = \frac{\det A_2}{\det A},$$

其中 $A_j$ 是把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $\mathbf{b}$ 后的矩阵。

证明：解的唯一性由第三章可逆性定理。直接验证：

$$\det A_1 = \det \begin{pmatrix} b_1 & b \\ b_2 & d \end{pmatrix} = b_1 d - b_2 b,\qquad x_1 \det A = x_1(ad - bc).$$

由方程组 $a x_1 + b x_2 = b_1$、$c x_1 + d x_2 = b_2$，用 $d$ 乘第一式、$-b$ 乘第二式相加：

$$(a d - c b) x_1 + (b d - d b) x_2 = d b_1 - b b_2 = \det A_1,$$

即 $x_1 \det A = \det A_1$。因 $\det A \neq 0$ 得 $x_1 = \det A_1/\det A$；$x_2$ 对称同理。$\blacksquare$

几何意义：$\det A_j$ 是"把目标 $\mathbf{b}$ 换进第 $j$ 列"的有向面积。解的分子分母都是面积，坐标是面积之比：$x_1 = [\mathbf{b}, \mathbf{c}_2]/[\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2]$——$\mathbf{b}$ 与第二列张成的面积占两列张成面积的比例，恰是 $\mathbf{b}$ 沿第一列方向的"含量"。这与第二章坐标公式 $a = (w_1 v_2 - w_2 v_1)/D$ 完全一致：坐标 = 面积比。

2. 行列式的函数论视角（深入）

把 $\det$ 看作矩阵空间 $M_2(\mathbb{R})$（第三章 2.1 节的四维空间）上的函数，它不是线性的：$\det(sA) = s^2 \det A$（二次齐次）。但它限制在每列上是线性的——"双线性"因此得名。这类函数是现代数学中"多重线性代数"的起点；外积、微分形式、以及物理中的叉乘，都是同一思想的化身。初步的联络：第三章 5.2 节的外积 $\mathbf{u}\mathbf{w}^{\mathsf T}$ 是秩 1 矩阵，其行列式为零（两列共线），而任意两向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 拼成的矩阵行列式 $[\mathbf{u}, \mathbf{v}]$ 是关于两个向量的反对称双线性函数——"双线性 + 反对称"的模式将在第八章（外积视角看 SVD）与更高级的课程中反复出现。

6. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter4，生成图像位于 output/chapter4：

图号	文件	内容
图 4-1	fig_4_1_area_scale.ppm	面积缩放因子
图 4-2	fig_4_2_shear_area.ppm	剪切保面积
图 4-3	fig_4_3_orientation.ppm	负行列式 = 定向反转
图 4-4	fig_4_4_multiplicative.ppm	乘法公式

图 4-1（fig_4_1_area_scale.ppm）：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$（$\det = 3$）把单位正方形（灰色轮廓，两邻边红/蓝箭头）变成橙色平行四边形——数格子可验证面积恰为 3。

图 4-2（fig_4_2_shear_area.ppm）：剪切 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（$\det = 1$）把紫色正方形推歪成橙色平行四边形：底不变、高不变（水平边斜推不改变竖直高度），面积严格不变——卡瓦列里原理的线性代数版本。

图 4-3（fig_4_3_orientation.ppm）：$F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$（$\det = -1$）沿 $x$ 轴镜像：紫色正方形（红边 $\mathbf{e}_1$ 在前、蓝边 $\mathbf{e}_2$ 在上，逆时针定向）翻到橙色平行四边形（$\mathbf{e}_1$ 不动、$\mathbf{e}_2$ 翻转到下方，定向变顺时针）。面积数值不变，但"旋向"被反转——符号的意义。

图 4-4（fig_4_4_multiplicative.ppm）：放大 2 倍的 $A$（$\det = 4$）与旋转 45° 的 $B$（$\det = 1$）：紫色单位方形 → 橙色大方块（面积 4）→ 旋转后青色轮廓（面积仍 4）。$\det(BA) = 4 = 4 \times 1$：面积因子相乘。

7. 小结

概念	代数形式	几何形象
行列式	$ad - bc$	有向面积 / 面积缩放因子
有向面积	$[\mathbf{u}, \mathbf{v}] = u_1 v_2 - u_2 v_1$	逆时针为正、顺时针为负
缩放因子	$ \operatorname{area}(A(S)) =	\det A
双线性 + 反对称 + 归一	三公理唯一确定 $\det$	面积直觉的公理化（升维路线图）
乘法公式	$\det(AB) = \det A \det B$	复合缩放 = 缩放相乘（图 4-4）
剪切	$\det = 1$	推斜不推扁，保面积（图 4-2）
镜像	$\det = -1$	面积不变、定向反转（图 4-3）
克拉默法则	$x_j = \det A_j / \det A$	坐标 = 面积之比

三条主线：

1. 一个数浓缩变换的全部度量信息：面积倍数、定向符号、退化判定全部由 $\det A$ 一手包办；零值则统一了"压扁、共线、不可逆、有核"。
2. 公理化视角是升维的钥匙："双线性 + 反对称 + 归一"三条件在二维唯一确定行列式；高维行列式、乃至微分形式，都由同一组公理定义。
3. 几何证明与代数证明互补：乘法公式的代数展开验证了正确性，几何论证（缩放复合）揭示了必然性——两个证明合起来才是完整的理解。

8. 习题

1. （计算） 求下列行列式，并各自给出几何解释：
   (a) $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}$；
   (b) $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$；
   © 旋转 $\theta$ 角的矩阵（验证恒为 1）。
2. （面积计算） 求顶点为 $(0,0), (3,1), (1,4), (-2,3)$ 的四边形面积（提示：按对角线剖分成两个三角形，各用有向面积；或直接用两邻边张成的平行四边形）。验证结果等于 $|\det|$ 的适当组合。
3. （证明） 直接展开验证 $\det(AB) = \det A \det B$，把 4.4 节证明中省略的分组补齐（按 $\det A$ 的两项重新组合）。
4. （克拉默） 用克拉默法则解 $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$，指出两个分子行列式各自的几何意义。
5. （证明） 证明：$\det A = 0 \iff$ 存在非零矩阵 $B$ 使 $AB = O$（提示："←"考虑 $B$ 的列；“→” 取核中非零向量做列）。
6. （三角函数） 利用 4.2.1 节的公式 $[\mathbf{u}, \mathbf{v}] = r s \sin(\beta - \alpha)$ 证明：$\sin(\beta - \alpha) = \sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha$（行列式恒等式即三角恒等式）。
7. （公理化） 设 $g$ 是双线性且反对称的双列函数但 $g(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = c$（不一定为 1）。证明 $g = c \cdot \det$（唯一性定理的推广：归一化条件只影响常数倍）。
8. （对称矩阵） 证明对称矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ 的行列式 $= a d - b^2 \leq 0$ 当且仅当什么条件？由此说明：若对称矩阵两列共线（$\det = 0$），则两列同时是 $(1, \sqrt{-a d})$ 型向量与其相反……更精确地：证明 $ad \leq b^2$ 且等号成立当且仅当两列共线。（第八章将用特征值重新解读这个不等式：对称矩阵的 $\det = \lambda_1 \lambda_2$。）
9. （思考） 三阶行列式的合理定义应当是什么？写出你猜测的公式，并检查它是否满足双线性、反对称、归一三条公理。（提示：$3 \times 3$ 有 6 项、每项是三个数的乘积，符号由排列的奇偶性决定。）
10. （编程） 修改演示 3：把镜像矩阵换为 $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（沿 $y$ 轴镜像）与旋转 180° 的 $-I$。两者的行列式各是多少？观察 $-I$（$\det = 1$）为什么不是镜像（旋转两个基向量，定向不变）——体会"翻转"与"转半圈"的区别。

5. 线性空间

前四章的全部理论建立在 $\mathbb{R}^2$ 的具体坐标上。本章把坐标拆掉，只保留"能加、能乘、运算律成立"的骨架——线性空间。抽象不是目的而是杠杆：一套公理、一套证明，同时适用于几何向量、多项式、矩阵、函数乃至无穷级数。我们将在抽象环境中重建基、维数、线性映射的整套理论，并证明前四章反复预告的秩一零化度定理的一般形式。几何上，本章的图像依然发生在平面上——但请记住：平面只是无穷多个线性空间中的一个"模特"，定理本身不依赖任何坐标。

1. 公理化定义

1. 定义

定义（线性空间） 设 $V$ 是一个非空集合，其元素称为向量，其上定义了两个运算：加法 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$ 与数乘 $t\mathbf{v} \in V$（$t \in \mathbb{R}$）。若以下八条公理恒成立，则称 $V$（连同两个运算）为一个线性空间（或向量空间）：

编号	公理	数学表达式
A1	加法交换律	$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
A2	加法结合律	$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
A3	零向量存在	存在 $\mathbf{0} \in V$ 使 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ 对一切 $\mathbf{v}$
A4	负向量存在	对每个 $\mathbf{v}$ 存在 $-\mathbf{v}$ 使 $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$
M1	数乘分配（对向量）	$t(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = t\mathbf{u} + t\mathbf{v}$
M2	数乘分配（对数）	$(s + t)\mathbf{v} = s\mathbf{v} + t\mathbf{v}$
M3	数乘结合律	$(st)\mathbf{v} = s(t\mathbf{v})$
M4	单位元	$1\mathbf{v} = \mathbf{v}$

通俗地说：线性空间就是"凡是要用的运算规则都成立"的地方。八条公理不描述向量"是什么"（箭头？多项式？声音信号？），只描述向量"如何运算"。只要运算律成立，前四章发展的每件武器——线性组合、相关无关、基、坐标——都可以原封不动地搬进来。

从公理立即可推出一批"免费"结论（证明只用公理，不用坐标）：

命题（零向量与负向量的唯一性，加法消去律）（i）满足 A3 的零向量唯一；（ii）每个向量的负向量唯一；（iii）$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w} \Rightarrow \mathbf{v} = \mathbf{w}$；（iv）$0\mathbf{v} = \mathbf{0}$，$(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$，$t\mathbf{0} = \mathbf{0}$。

证明：（i）若 $\mathbf{0}, \mathbf{0}'$ 都满足 A3，则 $\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}'$（把 $\mathbf{0}'$ 当零向量用）$= \mathbf{0}' + \mathbf{0}$（A1）$= \mathbf{0}'$（把 $\mathbf{0}$ 当零向量用）。（ii）若 $\mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0} = \mathbf{v} + \mathbf{w}$，两侧加 $-\mathbf{v}$（A4）并反复用 A2、A3 即得 $\mathbf{u} = \mathbf{w}$。（iii）两侧加 $-\mathbf{u}$ 同理。（iv）$0\mathbf{v} = (0 + 0)\mathbf{v} = 0\mathbf{v} + 0\mathbf{v}$（M2），两边加 $-(0\mathbf{v})$ 得 $\mathbf{0} = 0\mathbf{v}$；$\mathbf{v} + (-1)\mathbf{v} = 1\mathbf{v} + (-1)\mathbf{v} = (1 + (-1))\mathbf{v} = 0\mathbf{v} = \mathbf{0}$（M4、M2、刚证结论），由负向量唯一性 $(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$；$t\mathbf{0} = t(0\mathbf{v}) = (t \cdot 0)\mathbf{v} = 0\mathbf{v} = \mathbf{0}$（M3）。$\blacksquare$

这套"无坐标推理"是本章的新工作方式：不画图也能证明，但每次证明后都要同平面的直觉对账。

2. 例子库

公理的力量在于例子众多。以下每个例子都是完整合法的线性空间：

空间	“向量”	零向量	维数
$\mathbb{R}^2$	平面箭头 $(x, y)$	$(0, 0)$	$2$
$\mathbb{R}^n$	$n$ 元数组	$(0,\dots,0)$	$n$
$P_2$：次数 $\le 2$ 的多项式	$a + bx + cx^2$	$0$（零多项式）	$3$（基 $1, x, x^2$）
$M_2$：$2\times2$ 矩阵	矩阵 $A$	零矩阵 $O$	$4$（第三章 2.1 节）
$C[a, b]$：$[a,b]$ 上连续函数	函数 $f$	零函数	$\infty$（无穷维）
$\{\mathbf{0}\}$	仅一个零向量	它自己	$0$

验证示例（$P_2$ 是线性空间）：两个二次以内多项式相加仍是二次以内（合并同类项，次数不增）；数乘同理；八条公理逐条对应多项式恒等式的普通代数。零向量是零多项式，负向量是系数全部变号。

反例（起到毒剂检测的作用）：（i）全体正实数 $\mathbb{R}_{>0}$ 配普通乘法"看似向量"，但 $0 \notin$ 集合，A3 崩溃；（ii）开口向上的抛物线全体 $\{x^2 + bx + c\}$ 对加法不封闭（两个相加得 $2x^2 + \dots$，首项变成 2）；（iii）不过原点的直线对加法不封闭（第一章习题已见）——它们提醒我们：公理不是陈词滥调，而是入会资格审查，每一条都在排除一批伪装者。

通俗地说：线性空间像"会员制俱乐部"——只要能按规矩加、乘，就能进门，无论你是箭头、多项式还是一段音频信号。公理化带来的红利是：证明一次，处处生效。例如刚证的"零向量唯一"适用于上表所有空间，无需逐一验证。

3. 子空间

1. 定义与判定

定义（子空间） $W \subseteq V$ 若在继承 $V$ 的运算后自身构成线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的子空间。

定理（判定定理） $W \subseteq V$（$W$ 非空）是子空间 $\iff$ 以下两条封闭性成立：（i）$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$；（ii）$\mathbf{v} \in W,\; t \in \mathbb{R} \Rightarrow t\mathbf{v} \in W$。

证明：（$\Rightarrow$）子空间自己满足八公理，特别地封闭。（$\Leftarrow$）八条公理中 A1、A2、M1—M4 只涉及加法与数乘的等式，在 $W$ 中原样成立（它们是 $V$ 中等式的限制）。剩下 A3、A4：因 $W$ 非空取 $\mathbf{v} \in W$，则 $\mathbf{0} = 0\mathbf{v} \in W$（用 (ii) 与 1.1 节命题 (iv)），A3 成立；$-\mathbf{v} = (-1)\mathbf{v} \in W$（再用 (ii)），A4 成立。$\blacksquare$

通俗地说：判定子空间不需要重查八条公理，只需两条封闭性——“加不出去、乘不出去”。直觉图像：子空间必须包含零向量、必须沿每个成员的整个方向延伸（图 5-1：过原点的直线是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，平移后的平行线不是——它不含零向量，数乘一个负数立刻"乘出去"）。

2. 两个来自矩阵的子空间

命题 对任意矩阵 $A$：$\ker A$ 与 $\operatorname{im} A$ 都是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间。

证明：核：$\mathbf{0} \in \ker A$（$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$）；若 $A\mathbf{u} = A\mathbf{v} = \mathbf{0}$，则 $A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0}$，$A(t\mathbf{u}) = t A\mathbf{u} = \mathbf{0}$——两条封闭性成立。像：$\mathbf{0} = A\mathbf{0} \in \operatorname{im} A$；若 $\mathbf{p} = A\mathbf{u}$、$\mathbf{q} = A\mathbf{v}$，则 $\mathbf{p} + \mathbf{q} = A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \in \operatorname{im} A$，$t\mathbf{p} = A(t\mathbf{u}) \in \operatorname{im} A$。全部论证只用线性性，未触碰任何坐标。$\blacksquare$

在 $P_2$ 中也有熟悉的影子：$W = \{\text{满足 } p(1) = 0 \text{ 的 } p\}$ 是子空间（验证：$(p+q)(1) = p(1)+q(1) = 0$、$(tp)(1) = t\,p(1) = 0$）——它是"求值映射 $p \mapsto p(1)$ 的核"。子空间语言把相隔万里的结构（矩阵的核、多项式的根约束）统一在同一个框架下。

4. 基、维数与坐标

1. 线性组合语言的平移

以下定义逐字平移自第二章，只是把 $\mathbb{R}^2$ 换成任意空间 $V$：线性组合（$a_1\mathbf{v}_1 + \dots + a_k\mathbf{v}_k$）、张成 $\operatorname{span}$、线性相关/无关、基（张成 $V$ 且无关）、维数 $\dim V$（基的大小）。第二章的全部定理——冗余定理、坐标存在唯一性、基的最小性——证明中只用了八条公理，因此在任何线性空间中自动成立。

例：$P_2$ 中 $\{1, x, x^2\}$ 是基（任意 $a + bx + cx^2$ 的表示显然唯一——系数即坐标）；$\{1, x, 1+x\}$ 相关（第三者 = 前两者之和）；$\{1, x + x^2\}$ 无关但只张成二维子空间 $\{a + bx + bx^2\}$（中间两个系数被捆绑）。

2. 基的大小唯一（一般定理）

定理（维数良定义） 有限维空间 $V$ 的任意两组基含有相同个数的向量。

证明（第二章 3.6 节引理的推广，施特鲁斯替换引理路线）：设 $\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$ 与 $\{\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_m\}$ 都是基且 $m > n$。逐个把 $\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n$ 换入第一组（替换引理：把无关组中的一个向量换成组外新向量而仍无关，只要新向量在原组的张成中；标准推导见第二章 3.6 节的三向量引理，同样的归纳在抽象空间中逐字成立）：得到基 $\{\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n\}$。此时 $\mathbf{c}_{n+1} \in V = \operatorname{span}\{\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n\}$，故 $\{\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_{n+1}\}$ 相关——与基的无关性矛盾。故 $m \le n$；对称地 $n \le m$，得 $m = n$。$\blacksquare$

（推论：$n + 1$ 个向量一定相关（$\dim V = n$ 时）；无关组可扩充成基；张成组可剪枝成基。这些"胖瘦定理"与第二章的结论同构，证明从略——它们是同一套公理的必然后果。）

3. 坐标：每个有限维空间都是某个 $\mathbb{R}^n$

定理（坐标同构） 设 $\dim V = n$，取定基 $\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$，则映射

$$\mathbf{v} = \sum_i x_i \mathbf{b}_i \;\longmapsto\; (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$$

是良好定义的（坐标唯一）、线性的、一对一且到上的。

证明：坐标存在唯一性是第二章 3.3 节定理的抽象版（存在：基张成；唯一：若两组系数给出同一向量，相减得 $\sum (x_i - x_i')\mathbf{b}_i = \mathbf{0}$，无关性迫使系数差全零）。线性性：$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 的坐标 = 坐标之和，$t\mathbf{v}$ 的坐标 = 坐标的 $t$ 倍（逐项用公理展开）。一对一即坐标唯一性；到上即每个 $n$ 元数组给出一个线性组合。$\blacksquare$

通俗地说：这是抽象理论的第一份大回报——只要选定基，多项式可以当作数组、矩阵可以当作数组、任何有限维空间都可以当作 $\mathbb{R}^n$ 来计算。抽象空间是"多姿势的 $\mathbb{R}^n$"：换一组基就是换一套坐标。第一章到第四章在 $\mathbb{R}^2$ 中做的一切计算，都能平移到多项式空间、函数空间——只要先选好基。

5. 线性映射与秩一零化度定理

1. 抽象线性映射

定义 $T: V \to W$（两线性空间）线性，若保加法、保数乘（第三章 1.3 节的两公理）。核 $\ker T = \{\mathbf{v} : T\mathbf{v} = \mathbf{0}_W\}$ 与像 $\operatorname{im} T = \{T\mathbf{v}\}$ 分别是 $V$、$W$ 的子空间（3.2 节证明逐字平移）。

第三章的"矩阵 = 线性映射"定理现在有了抽象对应：选定域与目标空间的基后，每个线性映射由唯一矩阵实现。证明与第三章 1.3 节相同（像由基向量的去向决定）；矩阵的大小由两空间维数决定——例如把 $T: P_2 \to M_2$ 用基 $\{1, x, x^2\}$ 与 $\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}$ 表示，得到一个 $4 \times 3$ 矩阵。线性代数从此不再局限于方阵。

2. 秩一零化度定理（一般形式）

定理（秩一零化度） 设 $T: V \to W$ 线性，$V$ 有限维，则

$$\dim V = \dim(\operatorname{im} T) + \dim(\ker T).$$

证明：记 $r = \dim(\operatorname{im} T)$，取像的一组基 $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_r\}$，对每个 $\mathbf{u}_i$ 选一个原像 $\mathbf{v}_i \in V$（$T\mathbf{v}_i = \mathbf{u}_i$）。再取核的一组基 $\{\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_k\}$（$k = \dim \ker T$）。断言：

$$\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_r,\; \mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_k\}$$

是 $V$ 的基。这将完成证明（$\dim V = r + k$）。

张成：任取 $\mathbf{v} \in V$。其像可写 $T\mathbf{v} = \sum_i a_i \mathbf{u}_i$。考虑 $\mathbf{v}' = \mathbf{v} - \sum_i a_i \mathbf{v}_i$，则

$$T\mathbf{v}' = T\mathbf{v} - \sum_i a_i T\mathbf{v}_i = T\mathbf{v} - \sum_i a_i \mathbf{u}_i = \mathbf{0},$$

故 $\mathbf{v}' \in \ker T = \operatorname{span}\{\mathbf{k}_j\}$，于是 $\mathbf{v} = \sum_i a_i \mathbf{v}_i + \sum_j b_j \mathbf{k}_j \in \operatorname{span}(\mathcal{B})$。

无关：设 $\sum_i a_i \mathbf{v}_i + \sum_j b_j \mathbf{k}_j = \mathbf{0}$。作用 $T$：

$$\mathbf{0} = T\mathbf{0} = \sum_i a_i T\mathbf{v}_i + \sum_j b_j T\mathbf{k}_j = \sum_i a_i \mathbf{u}_i + \mathbf{0},$$

由 $\{\mathbf{u}_i\}$ 无关得 $a_i = 0$ 全部；代回原式只剩 $\sum_j b_j \mathbf{k}_j = \mathbf{0}$，再由 $\{\mathbf{k}_j\}$ 无关得 $b_j = 0$ 全部。$\blacksquare$

通俗地说：定理的几何画面（图 5-3）——一圈输入向量被压扁到像直线上，而核这条直线上的向量全部消失。$V$ 的维数被"记账式"地拆成两笔：像里留下的自由度（秩）+ 核里消失的自由度（零化度），收支相抵，总量不变。第三章 5.2 节的表格（$2 = 1 + 1$ 等）正是本定理在 $\mathbb{R}^2$ 的特例；从此以后，任何维数的变换都服从这条守恒律。

推论（方阵情形） $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 线性时，单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 双射。证明：单射即 $\ker T = \{\mathbf{0}\}$，即 $\dim \ker = 0$，即 $\dim \operatorname{im} = n$，即像 = 全空间（满射）；反之亦然。这个"两端夹逼中间自动成立"的现象只在方阵（域=目标空间同维）时出现，是有限维线性代数最优美的结论之一。

3. 同构

定义（同构） 线性映射 $T: V \to W$ 若是双射（其逆自动线性），称 $T$ 为同构，记 $V \cong W$。

定理 两个有限维空间同构 $\iff$ 维数相同。（“维数是线性空间的唯一身份证”。）

证明：（$\Rightarrow$）同构限制在基上是无关组到无关组的一一对应：若 $\sum a_i T\mathbf{b}_i = \mathbf{0}$，线性性得 $T(\sum a_i \mathbf{b}_i) = \mathbf{0}$，单射迫使 $\sum a_i \mathbf{b}_i = \mathbf{0}$，无关性迫使 $a_i = 0$。故 $T$ 把基送到基，维数相等。（$\Leftarrow$）各自取基，按位置配对 $\mathbf{b}_i \mapsto \mathbf{c}_i$ 再线性延拓，得到线性双射。$\blacksquare$

通俗地说：维数相同的一切有限维空间在结构上不可区分——$P_2$、$\mathbb{R}^3$、"3 个样本的时间序列"是同一个数学对象的三套皮肤。同构是把"看起来不同的东西"翻译成"本质上相同的东西"的正式语言。

6. 仿射子空间与解集结构

1. 仿射子空间

定义（仿射子空间） $V$ 的子集 $S$ 若是某个子空间 $W$ 的平移：$S = \mathbf{p} + W = \{\mathbf{p} + \mathbf{w} : \mathbf{w} \in W\}$，则称 $S$ 为仿射子空间。当 $\mathbf{p} \in S$ 任意时，$W = S - \mathbf{p} = \{\mathbf{s} - \mathbf{p} : \mathbf{s} \in S\}$ 与平移起点无关，称为 $S$ 的方向子空间。

几何上，仿射子空间是"不强制过原点的直线/平面"：$\mathbb{R}^2$ 中的仿射子空间恰是：点（$W = \{\mathbf{0}\}$）、不过原点的直线（$W$ 为一维）、全平面（$W = \mathbb{R}^2$）。图 5-1 的灰色平行线就是橙色子空间的平移：它继承了"方向"却丢失了"过原点"的资格，故不是子空间。

2. 非齐次方程组的解集结构

定理（解集结构） 设 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解 $\mathbf{x}_p$（特解），则全部解的集合为

$$\{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{b}\} = \mathbf{x}_p + \ker A = \{\mathbf{x}_p + \mathbf{k} : \mathbf{k} \in \ker A\}.$$

即：解集 = 特解 + 齐次解空间（一个仿射子空间，方向 = 核）。

证明：（$\supseteq$）若 $\mathbf{k} \in \ker A$，则 $A(\mathbf{x}_p + \mathbf{k}) = A\mathbf{x}_p + A\mathbf{k} = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$，是解。（$\subseteq$）若 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，则 $A(\mathbf{x} - \mathbf{x}_p) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$，故 $\mathbf{x} - \mathbf{x}_p \in \ker A$，即 $\mathbf{x} \in \mathbf{x}_p + \ker A$。$\blacksquare$

推论（解的唯一性判据） $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解要么不存在，要么恰一个（$\ker A = \{\mathbf{0}\}$ 时），要么无穷多个且构成一条平行于核的直线（$\dim \ker A = 1$ 时）——绝无"恰好两个解"的可能。

通俗地说：图 5-4 把定理画了出来：特解 $\mathbf{x}_p$ 是一枚绿色锚点，解集是核直线（蓝）平移到锚点处的橙色直线，线上每个黄点都被 $A$ 送到同一个 $\mathbf{b }$。直觉解读：求一个解，再允许"沿核方向自由漂移"——漂移在变换中不可见（被 $A$ 吞掉），所以漂到哪儿都是解。求解算法由此获得结构：消元找到特解，回代得到核的基，两者拼出完整解集——这套流程对任何维数的方程组都成立。

7. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter5，生成图像位于 output/chapter5：

图号	文件	内容
图 5-1	fig_5_1_subspaces.ppm	子空间 vs 仿射集
图 5-2	fig_5_2_image_kernel.ppm	投影矩阵的像与核
图 5-3	fig_5_3_rank_nullity.ppm	秩-零化度守恒
图 5-4	fig_5_4_affine_solution.ppm	解集 = 特解 + 核

图 5-1（fig_5_1_subspaces.ppm）：橙色直线 $\operatorname{span}\{(2,1)\}$ 过原点（绿色零向量坐镇原点），整数倍点阵展示数乘封闭；灰色平行线是它平移后的仿射集——不含零向量，一旦数乘负数就"飞出直线"，永远成不了子空间。

图 5-2（fig_5_2_image_kernel.ppm）：投影矩阵 $P = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的像（红线 $\operatorname{span}\{(1,1)\}$）与核（蓝线 $\operatorname{span}\{(1,-1)\}$）恰成直角：任意向量 $\mathbf{v}$（灰）被投影到 $P\mathbf{v}$（绿），误差 $\mathbf{v} - P\mathbf{v}$ 落在核上（黄）——像与核把平面剖成两个互补的方向（"互补"的精确含义将在第七章由正交性给出）。

图 5-3（fig_5_3_rank_nullity.ppm）：一整圈单位向量（灰）在 $P$ 作用下全部压到红色像直线上（绿色箭头）：$\dim \operatorname{im} = 1$；同时蓝色核直线上一整维的自由度消失：$\dim \ker = 1$；两者相加恰是输入空间的维数 2——守恒律的图像化。

图 5-4（fig_5_4_affine_solution.ppm）：$P\mathbf{x} = (1,1)$ 的解集：绿色特解 $\mathbf{x}_p = (1,1)$，橙色解直线是蓝色核直线的平移，线上黄点全部被 $P$ 映到同一个 $(1,1)$——“一个特解 + 全体自由漂移”。

8. 小结

概念	代数形式	几何形象
线性空间	八条公理	会员制俱乐部：能加能乘即入会
子空间	两条封闭性判定	必过原点、方向齐整（图 5-1）
基 / 维数	无关且张成 / 基的大小	自由度的精确计数
坐标同构	$V \cong \mathbb{R}^n$	选基后万物皆数组
核与像	$\ker T$、$\operatorname{im} T$	消失方向 / 到达范围（图 5-2）
秩一零化度	$\dim V = \dim\operatorname{im} + \dim\ker$	维数守恒：留下 + 消失 = 全部（图 5-3）
仿射子空间	$\mathbf{p} + W$	不过原点的直线（图 5-1）
解集结构	解集 $= \mathbf{x}_p + \ker A$	特解锚点 + 核方向漂移（图 5-4）

三条主线：

1. 公理化是杠杆而非负担：一套证明覆盖几何向量、多项式、矩阵、函数——零向量唯一性、维数良定义、秩一零化度都是只靠八条公理推出的，坐标从未登场。
2. 维数是空间的身份证：基的大小唯一、坐标同构、“同构 $\iff$ 同维”——抽象空间被维数完全分类，有限维世界的地图就此闭合。
3. 线性方程组的完整理论：解集 = 特解 + 核（仿射结构），存在性由 $\mathbf{b} \in \operatorname{im}$ 裁决，唯一性由 $\ker = \{\mathbf{0}\}$ 裁决——第三章的三重视角现在被"像—核"两大子空间彻底统一。

9. 习题

1. （公理检验） 下列集合哪些是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间？逐一用两条封闭性判定，不合法的指出违反处：
   (a) $\{(x, y) : x + y = 0\}$；
   (b) $\{(x, y) : x + y = 1\}$；
   © $\{(x, y) : x y = 0\}$（两坐标轴的并）；
   (d) $\{(x, y) : y = x^2\}$。
2. （多项式空间） 在 $P_2$ 中判断下列向量组的相关性：
   (a) $\{1,\; 1 + x,\; 1 + x + x^2\}$；
   (b) $\{x,\; x^2\}$；
   © $\{1 + x,\; 1 - x,\; 2\}$。并给出 (a) 中每个向量在基 $\{1, x, x^2\}$ 下的坐标。
3. （维数计算） 求 $W = \{p \in P_2 : p(0) = p(1)\}$ 的维数与一组基（提示：设 $p = a + bx + cx^2$，条件即 $b + c = 0$，消去一个参数）。
4. （证明） 证明：$W_1, W_2$ 是子空间 $\Rightarrow W_1 \cap W_2$ 是子空间；但 $W_1 \cup W_2$ 一般不是（举出平面上两条不同直线的反例——这解释了为什么"和" $W_1 + W_2$ 才是正确的操作）。
5. （秩一零化度） 定义 $T: P_2 \to \mathbb{R}$，$Tp = p(1)$（求值映射）。求 $\ker T$、$\operatorname{im} T$ 与各自维数，验证 $3 = 1 + 2$。
6. （证明） 设 $T: V \to W$ 线性。证明：$T$ 单射 $\iff$ $\ker T = \{\mathbf{0}\}$；并用秩一零化度证明：$\dim V < \dim W$ 时 $T$ 不可能满射，$\dim V > \dim W$ 时 $T$ 不可能单射（“小推大必压扁，大推小必重叠”）。
7. （解集结构） 求 $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ 的解集，写成"特解 + 核"的形式，并画图验证解集是一条仿射直线。
8. （坐标） 求 $\mathbf{w} = (3, 1)$ 在基 $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}$、$\mathbf{b}_1 = (1, 1)$、$\mathbf{b}_2 = (1, -1)$ 下的坐标。现在把同一套坐标思想用于 $P_2$：求 $p(x) = 2 + 3x + 5x^2$ 在基 $\{1,\; 1+x,\; 1+x+x^2\}$ 下的坐标（两个题目是同一个算法）。
9. （思考） 无穷维空间 $C[a,b]$ 没有有限基。 "$\{1, x, x^2, \dots\}$ 张成多项式全体，但连续函数如 $\sin x$ 不在其中"。由此解释：为什么说 $\dim C[a,b] = \infty$？（无穷维空间中秩一零化度定理依然成立，但需要更细的论证——第七章的傅里叶级数将给出"无穷维基"的雏形。）
10. （编程） 修改演示 4：把目标换为 $\mathbf{b} = (1.5, 1.5)$（仍在像直线上）与 $\mathbf{b} = (2, 1)$（不在像直线上）。前者解直线平移，后者无解——用图像验证"存在性由 $\mathbf{b} \in \operatorname{im}$ 裁决"。

6. 特征值与对角化

前几章我们把矩阵当作"变换的账本"整体使用。本章换一个提问方式：变换内部有没有Preferred方向——被矩阵作用后只伸缩、不转向的直线？ 这些"不变方向"（特征向量）及其伸缩倍数（特征值）是矩阵最深层的指纹：它们决定了变换的骨架、迭代的长期行为、乃至矩阵高次幂的封闭公式。几何直觉始终是主线：特征方向是变换的"主轴"，对角化就是把变换拆成"沿主轴独立伸缩"的复合。

1. 特征值与特征向量

1. 定义

定义（特征值与特征向量） 设 $A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵。若存在非零向量 $\mathbf{v}$ 与数 $\lambda$ 使

$$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v},$$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 为属于 $\lambda$ 的特征向量。

几何含义：$A$ 把整条直线 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}\}$ 原地伸缩（$\lambda > 0$）或翻转（$\lambda < 0$），不会把它转离自身方向。注意特征向量不唯一：同一方向上任何非零倍数都是；特征值才是唯一归属每个方向的数。零向量被排除在定义外——它被一切矩阵送到零，不携带任何信息。

例：投影矩阵 $P = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$（第五章图 5-2）在像直线方向 $(1,1)$ 上不改变（$P(1,1) = (1,1)$，特征值 1），在核直线方向 $(1,-1)$ 上归零（$P(1,-1) = \mathbf{0} = 0 \cdot (1,-1)$，特征值 0）——像与核两个子空间恰是两条特征直线。

2. 特征方程

定理（特征方程） $\lambda$ 是 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的特征值 $\iff$

$$\lambda^2 - (a + d)\,\lambda + (ad - bc) = 0.$$

（记 $\operatorname{tr} A = a + d$ 为迹。称 $p(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{tr} A\,\lambda + \det A$ 为特征多项式。）

证明：$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 有非零解 $\iff$ $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 有非零解 $\iff$ $\det(A - \lambda I) = 0$（第三章可逆性判据：齐次方程有非零解即矩阵不可逆）。而

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc).$$

判别式 $\Delta = (\operatorname{tr} A)^2 - 4\det A$ 裁决根的形态：$\Delta > 0$ 两个不同实根；$\Delta = 0$ 一个重根；$\Delta < 0$ 一对共轭复根。$\blacksquare$

通俗地说：求特征值被化归为解一元二次方程——迹与行列式这两个矩阵不变量（换基不改变它们，见习题）恰好是方程的两个系数。几何预告：$\Delta < 0$（如旋转矩阵）时变换没有任何实不变方向，向量被越转越远，"不变方向"只能在复平面上想象（见 2.3 节与图 6-4）。

3. 求解流程（例）

求 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征对：

第一步（特征方程）：$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$，因式分解 $(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$，得 $\lambda_1 = 3$、$\lambda_2 = 1$。

第二步（特征向量）：对 $\lambda_1 = 3$：解 $(A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，即 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$，行简化得 $v_1 = v_2$，取 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)$。对 $\lambda_2 = 1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 得 $v_1 = -v_2$，取 $\mathbf{v}_2 = (1, -1)$。

几何校验（图 6-1）：$A$ 把对角线方向 $(1,1)$ 拉长 3 倍、把反对角方向 $(1,-1)$ 保持原样；一般向量（如 $(2, 0.5)$）则被转向。两条特征直线（红/蓝）就是这张变换地图的"主干道"。

2. 特征值的基本性质

1. 迹与行列式是特征值之和与积

定理（韦达公式） 设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $A$ 的两个特征值（含重根、含复根），则

$$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A,\qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A.$$

证明：特征多项式 $\lambda^2 - \operatorname{tr} A\,\lambda + \det A$ 以 $\lambda_1, \lambda_2$ 为根，故可分解为 $(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) = \lambda^2 - (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2$；两个首一二次多项式相等则系数相等。$\blacksquare$

通俗地说：不用解方程也能读出特征值的"总量"：迹 = 两个伸缩倍数之和，行列式 = 两个伸缩倍数之积（即面积因子——与第四章的缩放因子定理严丝合缝：$|\det| = |\lambda_1||\lambda_2|$）。

2. 特征值的函数

定理（继承法则） 设 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$（$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$），则：

矩阵	特征值	特征向量
$A^k$（$k \ge 1$）	$\lambda^k$	$\mathbf{v}$（不变）
$A^{-1}$（若可逆）	$1/\lambda$	$\mathbf{v}$
$A + cI$	$\lambda + c$	$\mathbf{v}$
$cA$	$c\lambda$	$\mathbf{v}$

证明（逐行）：$A^k \mathbf{v} = A^{k-1}(A\mathbf{v}) = A^{k-1}(\lambda\mathbf{v}) = \lambda A^{k-1}\mathbf{v} = \dots = \lambda^k \mathbf{v}$（归纳，每步用线性性提出 $\lambda$）。$A^{-1}$：由 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 两侧左乘 $A^{-1}$ 得 $\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}$；$\lambda \neq 0$（否则 $A$ 不可逆——零特征值即 $\det A = 0$），除以 $\lambda$ 得 $A^{-1}\mathbf{v} = \tfrac{1}{\lambda}\mathbf{v}$。$(A + cI)\mathbf{v} = A\mathbf{v} + c\mathbf{v} = (\lambda + c)\mathbf{v}$。$(cA)\mathbf{v} = c\lambda\mathbf{v}$。$\blacksquare$

通俗地说：特征向量是变换的"固定资产"——对矩阵做多项式运算、求逆，不变方向都不搬家，只是特征值跟着变。这条法则将直接即出矩阵幂的封闭公式（3.3 节）。

3. 复特征值与旋转

当 $\Delta < 0$，特征值为共轭复对 $\lambda = \alpha \pm i\beta$。几何上这标志着变换含有"旋转成分"：以旋转矩阵 $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 为例（$\theta \neq 0, \pi$），

$$\lambda^2 - 2\cos\theta\,\lambda + 1 = 0,\qquad \lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta},$$

（欧拉公式，超出本书范围但值得铭记）。图 6-4 把它画了出来：向量 $\mathbf{v}$ 被 $R_{90^\circ}$ 连续作用形成风车 $\mathbf{v} \to R\mathbf{v} \to R^2\mathbf{v} \to R^3\mathbf{v} \to \mathbf{v}$，没有任何方向保持不动。实不变方向不存在，但特征值的辐角 $\theta$ 精确记录了旋转角——复特征值不是"失败的实数"，而是"旋转的语言"。第五章的复数提示在 此兑现了一半；另一半（共轭复根如何拼出实平面上的旋转）在更高级的课程中展开。

3. 对角化

1. 定义：换到特征坐标系

定义（相似与对角化） 若存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP = \Lambda$ 为对角阵，称 $A$ 可对角化，$\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$。

定理（对角化的结构） 下列等价：

（i）$A$ 可对角化；

（ii）$A$ 有两个线性无关的特征向量；

（iii）特征方程有两个不同实根，或 $A$ 已是数量矩阵（$\lambda I$）。

此时 $P$ 的两列恰为特征向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$，$\Lambda$ 的对角元为对应特征值。

证明：（ii）$\Rightarrow$（i）：设 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 无关，则 $P = (\mathbf{v}_1\; \mathbf{v}_2)$ 可逆（两列不共线，$\det P \neq 0$）。计算

$$AP = (A\mathbf{v}_1\; A\mathbf{v}_2) = (\lambda_1 \mathbf{v}_1\; \lambda_2 \mathbf{v}_2) = (\mathbf{v}_1\; \mathbf{v}_2)\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = P\Lambda,$$

两侧左乘 $P^{-1}$ 即得。（i）$\Rightarrow$（ii）：对角化式改写为 $AP = P\Lambda$，按列比较：$A$ 的第 $j$ 列 = $P$ 的第 $j$ 列乘 $\lambda_j$，即 $P$ 的列是特征向量；$P$ 可逆故列无关。（ii）$\iff$（iii）：两个不同实根给出两个不同特征值，属于不同特征值的特征向量必无关（若 $a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ 且均非零，用 $A$ 作用与原式联立：$a\lambda_1\mathbf{v}_1 + b\lambda_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$，第一式乘 $\lambda_2$ 相减得 $a(\lambda_1 - \lambda_2)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$，因 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 且 $\mathbf{v}_1 \neq 0$ 得 $a = 0$，进而 $b = 0$）。重根情形：属于同一特征值的特征向量集合 $\{\mathbf{v} : (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \} = \ker(A - \lambda I)$ 是个子空间，其维数至多为重数——重根时若这个特征空间维数为 1（如剪切矩阵，见例），找不到两个无关特征向量；若维数为 2，则 $A - \lambda I$ 的核是全平面，即 $A = \lambda I$ 本身已对角。$\blacksquare$

例（不可对角化：剪切） $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$：特征多项式 $(\lambda - 1)^2$，重根 $\lambda = 1$；$\ker(S - I) = \{(t, 0)\}$ 仅一维——只有水平方向不动。剪切把每个非水平向量都推离原方向，只有一个不变方向，攒不齐两组特征坐标轴。几何诊断：剪切没有十字形主轴，只有一根主轴。

通俗地说：对角化 = 换到特征坐标系看变换。在新坐标系（以特征向量为轴）里，矩阵变成 $\Lambda$——两个坐标各自独立伸缩、互不干扰（图 6-3：特征基网格沿红轴拉伸 3 倍、沿蓝轴不动，网格形状不歪，只是"疏密变了"）。原坐标系里需要四个数描述的纠结动作，特征坐标系里只需两个数——好坐标把复杂变简单，这是线性代数的中心思想。

2. 矩阵幂的封闭公式

定理（幂公式） 若 $A = P\Lambda P^{-1}$，则

$$A^k = P\Lambda^kP^{-1},\qquad \Lambda^k = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{pmatrix}.$$

证明：归纳。$A^2 = (P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1}) = P\Lambda(P^{-1}P)\Lambda P^{-1} = P\Lambda^2P^{-1}$；设 $A^k = P\Lambda^k P^{-1}$，则 $A^{k+1} = P\Lambda^kP^{-1} \cdot P\Lambda P^{-1} = P\Lambda^{k+1}P^{-1}$。$\blacksquare$

通俗地说：把 $A$ 的动作想象成三段：$P^{-1}$（翻译到特征语）→ $\Lambda$（各自伸缩）→ $P$（翻译回来）。重复 $k$ 次：翻译过去、连做 $k$ 次简单伸缩（中间的 $P^{-1}P$ 抵消）、翻译回来——只有伸缩被执行了 $k$ 遍，于是只有 $\lambda^k$ 出现。这就是下一节应用的引擎。

4. 应用：差分方程与长期行为

1. 线性迭代系统

许多过程形如 $\mathbf{v}_{k+1} = A\mathbf{v}_k$（人口迁移、利率滚存、信号滤波）：初始状态 $\mathbf{v}_0$ 被矩阵反复作用，$\mathbf{v}_k = A^k \mathbf{v}_0$。幂公式给出完整解：把 $\mathbf{v}_0$ 写成特征组合 $\mathbf{v}_0 = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2$，则

$$\mathbf{v}_k = A^k\mathbf{v}_0 = c_1\lambda_1^k\mathbf{v}_1 + c_2\lambda_2^k\mathbf{v}_2.$$

（证明：线性性与继承法则，$A^k\mathbf{v}_i = \lambda_i^k \mathbf{v}_i$。）长期行为完全由较大的 $|\lambda|$ 裁决：

| 主特征值 $\lambda_1$（$|\lambda_1| \ge |\lambda_2|$） | $\mathbf{v}_k$ 的长期行为 |
| --------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------- |
| $|\lambda_1| > 1$ | 几何级数发散，方向趋向 $\mathbf{v}_1$ |
| $|\lambda_1| < 1$ | 几何级数收敛到零（耗散） |
| $\lambda_1 = 1$ | 趋向稳态 $c_1 \mathbf{v}_1$（马尔可夫链的平稳分布） |
| $\lambda_1 = -1$（且 $|\lambda_2| < 1$） | 两周期振荡 |
| $|\lambda_1| = 1$，复 | 边界振荡（旋转，不衰减） |

2. 例：斐波那契数列的封闭公式

斐波那契递推 $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ 可以包装成矩阵迭代：取 $\mathbf{v}_k = (F_{k+1}, F_k)^{\mathsf T}$，则

$$\mathbf{v}_{k+1} = \begin{pmatrix} F_{k+2} \\ F_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_{k+1} \\ F_k \end{pmatrix} = A\mathbf{v}_k.$$

特征方程：$\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$，根为黄金比 $\varphi = \tfrac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1.618$ 与 $\psi = \tfrac{1 - \sqrt 5}{2} \approx -0.618$（注意 $\psi = -1/\varphi$）。特征向量分别取 $(\varphi, 1)^{\mathsf T}$ 与 $(\psi, 1)^{\mathsf T}$（验证：$A(\varphi,1)^{\mathsf T} = (\varphi + 1, \varphi)^{\mathsf T} = \varphi(\varphi, 1)^{\mathsf T}$，末步用了 $\varphi^2 = \varphi + 1$）。初始 $\mathbf{v}_0 = (1, 0)$ 分解为 $\tfrac{1}{\sqrt 5}(\varphi, 1)^{\mathsf T} - \tfrac{1}{\sqrt 5}(\psi, 1)^{\mathsf T}$（解二元一次方程即得系数），故

$$\mathbf{v}_k = \frac{\varphi^k}{\sqrt 5}\begin{pmatrix} \varphi \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{\psi^k}{\sqrt 5}\begin{pmatrix} \psi \\ 1 \end{pmatrix},$$

取第二分量：

$$F_k = \frac{\varphi^k - \psi^k}{\sqrt 5} \;\approx\; \frac{\varphi^k}{\sqrt 5}.$$

（后一个近似成立因 $|\psi| < 1$，其贡献指数衰减。）整数数列被两个无理数的幂精确表出——特征值的"指纹"身份在此登峰造极。相邻两项之比 $F_{k+1}/F_k \to \varphi$ 也由同一公式读出：主特征值主幸长期统治迭代。

3. 幂迭代：不解方程找主特征值

解特征方程在大矩阵（几千几万维）时不可行，数值上改用幂迭代：任取 $\mathbf{v}_0$（不与特征方向正交即可），反复 $\mathbf{v} \gets A\mathbf{v}$ 并归一化。

收敛性：设 $\lambda_1$ 严格占优（$|\lambda_1| > |\lambda_2|$）。由 4.1 节分解，$\mathbf{v}_k = \lambda_1^k(c_1\mathbf{v}_1 + c_2(\lambda_2/\lambda_1)^k\mathbf{v}_2)$，归一化后括号内第二项以几何速率 $|\lambda_2/\lambda_1|$ 消失，方向收敛到 $\mathbf{v}_1$；同时 $\|A\mathbf{v}_k\| / \|\mathbf{v}_k\| \to |\lambda_1|$。图 6-2：从 $(1, 0.2)$ 出发七步内箭头颜色渐变并贴合红色主轴——收敛速率 $|\lambda_2/\lambda_1| = 1/3$，每三步误差缩小到约三分之一。这就是 Google PageRank、主成分分析（第八章）等大型计算的心脏。

5. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter6，生成图像位于 output/chapter6：

图号	文件	内容
图 6-1	fig_6_1_eigendirections.ppm	特征方向：不变的主轴
图 6-2	fig_6_2_power_iteration.ppm	幂迭代收敛到主轴
图 6-3	fig_6_3_diagonalize.ppm	对角化：特征基网格独立伸缩
图 6-4	fig_6_4_complex_eigen.ppm	旋转矩阵没有实特征向量

图 6-1（fig_6_1_eigendirections.ppm）：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的两条特征直线（红：$\lambda = 3$；蓝：$\lambda = 1$）：一般向量 $(2, 0.5)$（灰）的像（橙）方向改变；红轴上的向量被拉长 3 倍不转向，蓝轴上的向量保持不动——只有这两条主干道免于转向。

图 6-2（fig_6_2_power_iteration.ppm）：幂迭代从 $(1, 0.2)$ 出发（颜色逐次变化），方向迅速贴合红色主轴 $(1,1)/\sqrt 2$——$|\lambda_2/\lambda_1| = 1/3$ 的几何衰减清晰可见：前两步大转，之后每次仅微调。

图 6-3（fig_6_3_diagonalize.ppm）：特征基 $\{(1,1), (1,-1)\}$ 的格点（橙）被 $A$ 作用后（绿点）：红轴方向拉开三倍、蓝轴方向纹丝不动，灰色连线显示每个格点的位移轨迹——"斜正交"网格保持形状，只有疏密改变，这就是对角化的几何体感。

图 6-4（fig_6_4_complex_eigen.ppm）：旋转 90° 的风车：$\mathbf{v} \to R\mathbf{v} \to R^2\mathbf{v} \to R^3\mathbf{v} \to \mathbf{v}$（四色箭头），除零向量外无一幸免于转向——实特征向量不存在，特征值 $\pm i$ 记录的是旋转本身。

6. 小结

概念	代数形式	几何形象
特征对	$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$	不变方向 + 伸缩倍数（图 6-1）
特征方程	$\lambda^2 - \operatorname{tr} A\,\lambda + \det A = 0$	主轴的代数入口
韦达公式	$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A$，$\lambda_1\lambda_2 = \det A$	伸缩倍数的和与积
继承法则	$A^k \to \lambda^k$，$A^{-1} \to 1/\lambda$	特征向量是固定资产
对角化	$A = P\Lambda P^{-1}$	换到主轴坐标系，动作 = 独立伸缩（图 6-3）
不可对角化	剪切：重根但特征空间一维	只有一根主轴，攒不齐十字
复特征值	$\Delta < 0$：$\alpha \pm i\beta$	旋转成分，辐角即转角（图 6-4）
幂公式	$A^k = P\Lambda^kP^{-1}$	翻译—连伸缩—翻译回来
迭代系统	$\mathbf{v}_k = \sum c_i\lambda_i^k\mathbf{v}_i$	长期由最大 $

三条主线：

1. 特征向量是变换的主轴：对角化 = 换到主轴坐标系，四个数的纠结动作被拆成两个独立伸缩——“好坐标把复杂变简单”。
2. 特征值是矩阵的指纹：迹与行列式由它决定，矩阵幂由它表达，迭代长期行为由它裁决，斐波那契数由它精确生成——不变的代数身份，全息的几何信息。
3. 退化与复数各有其意义：重根可能意味着"只有一根主轴"（剪切，不可对角化）也可能意味着"已经对角"（数量矩阵）；复根不是失败而是旋转的语言——代数现象背后都有几何身份。

7. 习题

1. （计算） 求下列矩阵的特征值与特征向量，并各用一句话描述几何动作：
   (a) $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$；
   (b) $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$；
   © $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$；
   (d) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（不可对角化的例）。
2. （迹与行列式） 不解方程，判断下列矩阵特征值的形态（两个不同实根 / 重根 / 复根）：
   (a) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$；
   (b) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$；
   © $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$；
   (d) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（斐波那契矩阵）。
3. （证明） 证明：三角矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ 的特征值就是对角元 $a, d$。（这解释了为什么幂公式中 $\Lambda$ 的对角元是特征值：对角阵是特例。）
4. （证明） 证明属于不同特征值的特征向量线性无关（3.1 节证明中的引理，补全细节），并由此说明：两个不同实根必可对角化。
5. （幂公式） 对 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，用对角化计算 $A^{10}$（先求 $P$、$\Lambda$、$P^{-1}$，再乘出——结果应是一个具体整数矩阵）。
6. （迭代系统） 设 $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 \end{pmatrix}$（人口迁移模型：城市/乡村每年按比例流动）。求特征值与稳态向量（属于 $\lambda = 1$ 的特征向量，分量和为 1），并说明任意初始分布的长期趋向。
7. （斐波那契） 用封闭公式 $F_k = (\varphi^k - \psi^k)/\sqrt 5$ 计算 $F_{10}$，验证与递推值一致（$55$）。再证明 $F_{k+1}/F_k \to \varphi$。
8. （证明） 证明：$A$ 可逆 $\iff$ $0$ 不是 $A$ 的特征值；且若 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 则 $A^{-1}\mathbf{v} = \lambda^{-1}\mathbf{v}$（继承法则的逆矩阵行）。
9. （思考） 相似不变量：设 $B = P^{-1}AP$。证明 $\operatorname{tr} B = \operatorname{tr} A$ 与 $\det B = \det A$（提示：用第四章乘法公式与转置性质化简 $\det(P^{-1}AP)$；迹的验证直接展开）。由此说明：不同基下同一变换的矩阵"表不同而魂相同"，特征多项式是换基不变的。
10. （编程） 修改演示 2：把矩阵换为 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}$（先解特征方程预计主轴方向与收敛速率，再运行观察是否一致）。再试剪切矩阵，观察幂迭代会发生什么（方向收敛到唯一主轴——但它不收敛到特征向量对，验证"只有一个特征方向"）。

7. 内积与正交

到目前为止，线性空间只有"加与乘"，没有角度、没有长度、没有垂直。本章补上这块拼图：内积。它一旦登场，几何的全部直觉——长度、夹角、垂直、投影、最短距离——都将获得代数定义；反过来，最小二乘拟合、傅里叶级数这些看似与几何无关的技术，将被看清楚本质上都是投影。本章还将兑现两个老承诺：第五章说"像与核互相垂直的精确含义本章给出"，第六章说"对称矩阵的主轴互相正交"（下一章正式证明）。数形结合在本章达到峰值。

1. 内积

1. 定义

定义（内积） 对 $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$、$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 定义

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2.$$

它满足四条基本性质（对一切向量与数）：

性质	数学表达式
对称性	$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$
对第一变元线性	$\langle a\mathbf{u} + a'\mathbf{u}', \mathbf{v} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + a'\langle \mathbf{u}', \mathbf{v} \rangle$
正定性	$\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \ge 0$，且 $= 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$
退化零	$\langle \mathbf{0}, \mathbf{v} \rangle = 0$

（验证都直逐项展开，例如对称性：$u_1 v_1 + u_2 v_2 = v_1 u_1 + v_2 u_2$ 用数的交换律。由对称性，对第二变元也线性——“双线性”。）

2. 范数与夹角

定义（范数） $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$（第一章的模）。定义（距离） $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$。

定理（柯西一施瓦茨不等式）

$$|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \le \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|,$$

等号成立 $\iff$ 两向量共线。

证明：若 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$ 两边皆零，成立。设 $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$，对任意实数 $t$，由正定性：

$$0 \le \|t\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \langle t\mathbf{u} + \mathbf{v},\; t\mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle = t^2\|\mathbf{u}\|^2 + 2t\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2.$$

（展开用了双线性与对称性。）右端是 $t$ 的二次函数，开口向上且恒非负，故判别式 $\le 0$：

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 - \|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 \le 0.$$

开方即得。等号对应判别式 $= 0$，即二次函数有实根 $t_0$ 使 $\|t_0\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = 0$，即 $\mathbf{v} = -t_0 \mathbf{u}$ 共线。$\blacksquare$

通俗地说：柯西一施瓦茨是"夹角存在性"的代数保障：由它可定义

$$\cos\theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},\qquad \theta \in [0, \pi],$$

因为不等式恰好保证右端落在 $[-1, 1]$ 内。没有柯西一施瓦茨，"夹角"就没有定义；它也是泛函分析、概率论中一串不等式的祖先。

推论（三角不等式） $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$（证明：平方展开，用柯西一施瓦茨估计交叉项）。

3. 转置的真正身份（深入）

内积给出转置的几何意义：对任意矩阵 $A$

$$\langle A\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, A^{\mathsf T}\mathbf{v} \rangle.$$

证明：两边都等于 $(a u_1 + b u_2)v_1 + (c u_1 + d u_2)v_2 = u_1(a v_1 + c v_2) + u_2(b v_1 + d v_2)$，逐项整理。$\blacksquare$

通俗地说："$A$ 搬过去"与"$A^{\mathsf T}$ 搬过来"在配对中不可区分——转置是关于内积的"左右横移"。这句不起眼的恒等式是下一章谱定理证明的发动机。

2. 正交性

定义（正交） $\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \iff \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$。由夹角公式，内积为零即 $\cos\theta = 0$（$\theta = 90^\circ$）——垂直的代数化身（零向量与一切向量正交）。

定理（勾股定理） $\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \Rightarrow \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$。

证明：$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$（正交使交叉项消失）。$\blacksquare$

正交基是"最省心的坐标系"：向量 $\mathbf{w} = a\mathbf{q}_1 + b\mathbf{q}_2$（$\mathbf{q}_1 \perp \mathbf{q}_2$）的坐标可用内积直接读出——$a = \langle\mathbf{w}, \mathbf{q}_1\rangle / \|\mathbf{q}_1\|^2$（两侧与 $\mathbf{q}_1$ 内积，另一项归零），无需解方程组。对照第二章：斜基求坐标要消元，正交基求坐标只要投影。

3. 正交投影

1. 问题与推导

问题：给定向量 $\mathbf{w}$ 与非零方向 $\mathbf{u}$，在直线 $L = \operatorname{span}\{\mathbf{u}\}$ 上找离 $\mathbf{w}$ 最近的点（把 $\mathbf{w}$ "投影"到 $L$）。

推导：候选点形如 $t\mathbf{u}$。距离平方

$$\|\mathbf{w} - t\mathbf{u}\|^2 = \|\mathbf{w}\|^2 - 2t\langle\mathbf{w},\mathbf{u}\rangle + t^2\|\mathbf{u}\|^2$$

是 $t$ 的开口向上二次函数，最小值在顶点

$$t^* = \frac{\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle}{\|\mathbf{u}\|^2},\qquad \mathbf{p} = \operatorname{proj}_L \mathbf{w} = \frac{\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle}{\|\mathbf{u}\|^2}\,\mathbf{u}.$$

定理（最近点刻画） $\mathbf{p} \in L$ 是最近点 $\iff$ 误差向量 $\mathbf{e} = \mathbf{w} - \mathbf{p}$ 与整条直线 $L$ 正交（即 $\langle\mathbf{e}, \mathbf{u}\rangle = 0$）。

证明：（$\Rightarrow$）代入 $\mathbf{p} = t^*\mathbf{u}$：$\langle\mathbf{w} - t^*\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \langle\mathbf{w},\mathbf{u}\rangle - t^*\|\mathbf{u}\|^2 = 0$（代入 $t^*$）。（$\Leftarrow$）任取 $t\mathbf{u} \in L$，由勾股定理（$\mathbf{e} \perp L \ni t\mathbf{u} - \mathbf{p}$）：

$$\|\mathbf{w} - t\mathbf{u}\|^2 = \|\mathbf{e} + (\mathbf{p} - t\mathbf{u})\|^2 = \|\mathbf{e}\|^2 + \|\mathbf{p} - t\mathbf{u}\|^2 \ge \|\mathbf{e}\|^2 = \|\mathbf{w} - \mathbf{p}\|^2,$$

等号仅当 $t\mathbf{u} = \mathbf{p}$。$\blacksquare$

通俗地说（图 7-1）：投影 = “影子”，误差 = “影子顶端指向本人的垂直残段”。最近点的条件不是"距离最小"的直接陈述，而是垂直条件——这一转译是全章乃至全书的枢纽：“最优”（最小距离）与"正交"（垂直残差）是同一件事的两面。

2. 投影矩阵

把投影写成矩阵：$\mathbf{p} = P\mathbf{w}$，其中

$$P = \frac{\mathbf{u}\mathbf{u}^{\mathsf T}}{\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u}} = \frac{1}{u_1^2 + u_2^2}\begin{pmatrix} u_1^2 & u_1 u_2 \\ u_1 u_2 & u_2^2 \end{pmatrix}$$

（外积形式——呼应第三章 5.2 节：投影是秩 1 矩阵）。它满足三条代数性质：

性质	数学表达式	几何意义
幂等	$P^2 = P$	投影两次 = 投影一次（影子已在直线上，再投不动）
对称	$P^{\mathsf T} = P$	配对对称（误差垂直性的矩阵化）
谱	特征值 1（像方向）与 0（核方向）	保留分量 / 消灭分量

证明（幂等）：$P^2 = \mathbf{u}(\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u})\mathbf{u}^{\mathsf T}/(\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u})^2 = \mathbf{u}\mathbf{u}^{\mathsf T}/\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u} = P$（中间用了结合律把括号缩成一个数）。对称性直接由外积形式读出。特征值：$P\mathbf{u} = \mathbf{u}$（$t^* = 1$），$P\mathbf{e} = \mathbf{0}$（任意与 $\mathbf{u}$ 垂直的 $\mathbf{e}$：$\langle\mathbf{e}, \mathbf{u}\rangle = 0$ 使系数归零）。$\blacksquare$

第五章图 5-2、图 5-4 的投影矩阵 $\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 正是 $\mathbf{u} = (1,1)$ 情形：它的像（保留方向）与核（消灭方向）互相垂直——那幅图的老谜团"为什么恰好垂直"，现在是定理：投影矩阵的像与核互为正交补。

4. 施密特正交化

1. 算法

斜基虽合法，但坐标计算要解方程（第二章）。能把任意基改装成正交基吗？能——逐个"剪影子"：

输入：无关向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2$。输出：正交向量 $\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2$，张成相同。

第一步：$\mathbf{q}_1 = \mathbf{u}_1$（保留第一根）。

第二步：从 $\mathbf{u}_2$ 中剪掉它在 $\mathbf{q}_1$ 上的影子：

$$\mathbf{q}_2 = \mathbf{u}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{q}_1}\mathbf{u}_2 = \mathbf{u}_2 - \frac{\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{q}_1\rangle}{\|\mathbf{q}_1\|^2}\mathbf{q}_1.$$

（若需单位正交基，再各自除以长度。）

正确性：$\langle\mathbf{q}_2, \mathbf{q}_1\rangle = \langle\mathbf{u}_2, \mathbf{q}_1\rangle - \frac{\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{q}_1\rangle}{\|\mathbf{q}_1\|^2}\langle\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_1\rangle = 0$（线性 + 内积自除）；张成不变：$\mathbf{q}_2$ 是 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2$ 的组合，反过来 $\mathbf{u}_2 = \mathbf{q}_2 + (\text{影子})$ 也是 $\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2$ 的组合。图 7-2：蓝向量减去橙色影子得到绿色垂直分量——直角看得见。

高维推广照搬：第 $k$ 步从 $\mathbf{u}_k$ 中剪掉它在前面所有 $\mathbf{q}_j$（$j < k$）上的影子。归纳论证同上。

2. 正交化 = 三角分解（深入）

把施密特过程反着读：$\mathbf{u}_1 = \|\mathbf{q}_1\|\hat{\mathbf{q}}_1$，$\mathbf{u}_2 = \langle\mathbf{u}_2, \hat{\mathbf{q}}_1\rangle\hat{\mathbf{q}}_1 + \|\mathbf{q}_2\|\hat{\mathbf{q}}_2$（$\hat{\mathbf{q}}_i$ 为单位正交向量），用矩阵表示：

$$(\mathbf{u}_1\;\;\mathbf{u}_2) = (\hat{\mathbf{q}}_1\;\;\hat{\mathbf{q}}_2)\begin{pmatrix} \|\mathbf{q}_1\| & \langle\mathbf{u}_2, \hat{\mathbf{q}}_1\rangle \\ 0 & \|\mathbf{q}_2\| \end{pmatrix},$$

即 $A = QR$：任何可逆矩阵 = 正交矩阵 $\times$ 上三角矩阵。这就是著名的 QR 分解，数值线性代数（解方程组、求特征值）的中流砥柱——它的几何内容不过是"剪影子"。

5. 正交矩阵

定义（正交矩阵） $Q$ 满足 $Q^{\mathsf T}Q = I$（即列向量为单位正交基）。

定理（刚体性质） 正交矩阵保持内积、长度与夹角：对一切 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$，

$$\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle,\qquad \|Q\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|.$$

证明：用 1.3 节的转置恒等式：$\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \langle\mathbf{u}, Q^{\mathsf T}Q\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u}, I\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$。取 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$ 得保长度；保夹角由夹角公式（分子分母都不变）。$\blacksquare$

（逆命题也成立：保持一切长度的线性变换必是正交的——习题。）$2\times2$ 正交矩阵恰有两类：旋转 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$（$\det = +1$）与反射 $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$（$\det = -1$，沿某条过原点直线镜像）。证明思路：设两列为单位正交向量，第一列 $(\cos\theta, \sin\theta)$，第二列与它垂直故为 $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$，两个符号对应两类。

通俗地说（图 7-4）：正交变换是"刚体变换"——整个平面像一块刚性平板被搬动，网格不歪（对照第三章图 3-1 的剪切歪网格）、长度不变、角度不变。第四章的"旋转保面积"（$\det = 1$）与"镜像反转定向"（$\det = -1$）现在是同一个家族的两个分支：正交矩阵 = 保长度变换 = 旋转或反射。

6. 最小二乘

1. 问题：不可解方程组的最优近似

数据拟合的标准场景：观测数据 $(t_1, y_1), \dots, (t_m, y_m)$（$m > 2$），想找直线参数 $(c, d)$ 使 $c t_i + d = y_i$ 对所有 $i$ 成立。写成矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$：

$$\begin{pmatrix} t_1 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ t_m & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}.$$

真实数据带噪声，$\mathbf{b}$ 一般不在 $A$ 的列空间里——方程组无解。退而求其次：找 $\hat{\mathbf{x}}$ 使残差 $\|A\hat{\mathbf{x}} - \mathbf{b}\|^2$（各点竖直残差的平方和）最小。

2. 解法：投影即最优

定理（正规方程） 最优解 $\hat{\mathbf{x}}$ 满足

$$A^{\mathsf T}A\,\hat{\mathbf{x}} = A^{\mathsf T}\mathbf{b},$$

且几何意义是：$A\hat{\mathbf{x}} = \operatorname{proj}_{\operatorname{im} A}\mathbf{b}$（把目标投影到列空间上）。

证明（几何路线，3.1 节最近点刻画的推广）：残差向量 $\mathbf{e} = \mathbf{b} - A\hat{\mathbf{x}}$ 应与整个列空间正交（否则在列空间内还存在更近的点）。而"与列空间中每个向量正交"等价于"与 $A$ 的每一列正交"，即

$$\mathbf{0} = A^{\mathsf T}\mathbf{e} = A^{\mathsf T}(\mathbf{b} - A\hat{\mathbf{x}}),$$

整理即正规方程。（代数路线：残差平方是 $\hat{\mathbf{x}}$ 各分量的二次函数，令梯度为零得到同一方程——两条路线殊途同归。）$\blacksquare$

通俗地说：拟合直线不可能穿过每个噪声点，那就让"总平方残差"最小——最优拟合恰是把数据向量投影到模型能表达的子空间上。图 7-3：五个不共线点（灰橙点）配一条红直线，每点的竖直残差（橙线段）就像"影子与本人的差距"，最优直线的标志是残差向量全体与模型子空间垂直。最小二乘 = 投影 = 正交——三大概念一条锁链。

（完整计算例：数据 $(-2,-2.8), (-1,-1.1), (0,0.2), (1,1.3), (2,2.6)$，用过原点模型 $y = ct$：正规方程退化为 $c = \sum t_i y_i / \sum t_i^2$。逐项算：$\sum t_i y_i = (-2)(-2.8)+(-1)(-1.1)+0+1\cdot1.3+2\cdot2.6 = 5.6+1.1+1.3+5.2 = 13.2$，$\sum t_i^2 = 10$，故 $c = 1.32$——正是图 7-3 中红直线的斜率。）

7. 深入：函数空间的投影与傅里叶级数

第五章留下话头：无穷维空间 $C[-\pi, \pi]$（连续函数）没有有限基。内积的眼光让"无穷维的正交基"重新成为可能。

第一步（积分内积）：定义

$$\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx.$$

验证它与 1.1 节的四条性质逐条对应（对称：积分与交换被积函数无关；线性：积分线性；正定：连续非负函数积分为零则恒为零）。第五章的抽象空间理论在此直接接管：$C[-\pi,\pi]$ 是带内积的线性空间。

第二步（正交函数族）：三角函数族

$$1,\quad \cos x,\; \sin x,\quad \cos 2x,\; \sin 2x,\quad \dots$$

两两正交（例如 $\langle\cos x, \sin x\rangle = \int_{-\pi}^{\pi}\cos x\sin x\,dx = 0$——奇函数对称积分为零；$\langle\cos mx, \cos nx\rangle = 0$（$m \neq n$）由积化和差公式与正交性验证）。这就是函数世界的"正交坐标系"。

第三步（投影 = 傅里叶系数）：把函数 $f$ 投影到这组正交基上，投影系数（正交基下坐标的读法，见第 2 节末尾）为

$$a_n = \frac{\langle f, \cos nx \rangle}{\|\cos nx\|^2} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx \quad (n \ge 1),\qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx,$$

（$\|\cos nx\|^2 = \pi$ 由直接积分，上式对 $n \ge 1$ 成立；常数项需单独处理：$\|1\|^2 = \int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = 2\pi$，故常数项的系数为 $a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$，即 $f$ 的平均值）——傅里叶系数就是投影系数，傅里叶级数就是把函数投影到无穷维正交基上的展开，截断的傅里叶级数就是"到前 $N$ 个谐波张成子空间的最小二乘最优近似"。声音的频谱分析、图像的 JPEG 压缩，底层都是本章的投影定理。

通俗地说：把函数看成无穷维空间中的"点"，三角函数族是它的"正交坐标轴"，傅里叶分析就是"沿各轴读坐标"。有限维（本章平面上的投影）与无穷维（傅里叶级数）用的是同一条定理：最近点 ⟺ 垂直残差。第五章"抽象空间是杠杆"的许诺至此完全兑现。

8. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter7，生成图像位于 output/chapter7：

图号	文件	内容
图 7-1	fig_7_1_projection.ppm	正交投影：影子与垂直残差
图 7-2	fig_7_2_gram_schmidt.ppm	施密特正交化：剪影子
图 7-3	fig_7_3_least_squares.ppm	最小二乘拟合
图 7-4	fig_7_4_orthogonal.ppm	正交矩阵：刚体变换

图 7-1（fig_7_1_projection.ppm）：把 $\mathbf{w} = (1,3)$ 投到方向 $(2,1)$：绿色影子 $(2,1)$ 落在红线上，橙色误差从影子顶端垂直指向 $\mathbf{w}$ 顶端——直角看得见，"最近点 ⟺ 垂直"的图像化。

图 7-2（fig_7_2_gram_schmidt.ppm）：斜基 $(2,1)$（红）、$(1,3)$（蓝）：从蓝向量剪掉橙色影子（沿红方向的分量），得到与红轴垂直的绿色向量——两步剪影，斜基变正交基。

图 7-3（fig_7_3_least_squares.ppm）：五个带噪声的数据点，拟合直线 $y = 1.32 t$（红）与各点的竖直残差（橙）：正规方程给出的最优解使平方残差和最小——每个残差段就是"数据向量与模型子空间的差距"。

图 7-4（fig_7_4_orthogonal.ppm）：旋转 30° 作用于标准网格：网格仍方方正正（青/黄，对照第三章图 3-1 被剪切扯歪的网格）；向量对旋转前后长度、夹角全部不变——刚体变换。

9. 小结

概念	代数形式	几何形象
内积	$u_1v_1 + u_2v_2$	长度与角度的代数源头
柯西一施瓦茨	$	\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle
正交	$\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0$	垂直（勾股定理成立）
投影	$\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{u}\rangle}{|\mathbf{u}|^2}\mathbf{u}$	影子；最近点（图 7-1）
最近点刻画	最优 ⟺ 残差垂直	"最优"与"正交"是同一件事
投影矩阵	$P^2 = P$，$P^{\mathsf T} = P$	投影不动已投影；像 ⊥ 核
施密特	剪影子逐个正交化	斜基 → 正交基（图 7-2）
QR 分解	$A = QR$	正交化反向阅读（深入）
正交矩阵	$Q^{\mathsf T}Q = I$，保长度	旋转或反射：刚体（图 7-4）
最小二乘	$A^{\mathsf T}A\hat{\mathbf{x}} = A^{\mathsf T}\mathbf{b}$	投影到模型子空间（图 7-3）
傅里叶系数	$\frac{1}{\pi}\int f\cos nx$	无穷维正交基下的投影（深入）

三条主线：

1. 内积统一了几何与代数：长度、角度、垂直由一个公式诞生；柯西一施瓦茨是背后的定海神针。转置的身份（$\langle A\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u},A^{\mathsf T}\mathbf{v}\rangle$）连接前几章的矩阵运算。
2. 投影是"最优"的几何形式：最近点、最小二乘、傅里叶截断全部归结为同一件事——垂直残差；正规方程是投影定理的矩阵记录。
3. 正交坐标系是计算与理论的甜点区：正交基下坐标 = 投影（免解方程）；施密特把任意基改装成正交基（QR 分解）；正交矩阵保护全部度量结构。

10. 习题

1. （计算） 求下列内积与夹角：
   (a) $(1,2)$ 与 $(3,1)$；
   (b) $(1,2)$ 与 $(-2,1)$（应垂直）；
   © $(2,0)$ 与 $(-1,\sqrt 3)$（应为 120°）。
2. （柯西一施瓦茨） 对 $\mathbf{u} = (1,2)$、$\mathbf{v} = (2,-1)$ 验证不等式两侧，并验证它们恰好垂直（等号情形是共线，这里交叉项直接为零）。再用不等式估计 $|\langle(3,4),(5,12)\rangle|$ 与实际值比较。
3. （投影计算） 把 $\mathbf{w} = (3,2)$ 投影到方向 $\mathbf{u} = (1,-1)$ 上，求影子、残差，并验证残差与 $\mathbf{u}$ 垂直、勾股定理成立（$\|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{e}\|^2$）。
4. （施密特） 对基 $\{(1,1),\; (1,2)\}$ 执行施密特正交化，得到正交基并单位化；然后写出 $(3,5)$ 在新正交基下的坐标（用内积直接读出，不解方程）。
5. （证明） 证明：若 $Q^{\mathsf T}Q = I$ 则 $Q$ 保长度；反之若线性映射 $T$ 保一切长度则其矩阵 $Q$ 满足 $Q^{\mathsf T}Q = I$（逆命题：取 $\mathbf{v} = \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 与 $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$ 分别代入）。
6. （投影矩阵） 对 $\mathbf{u} = (1,2)$：写出投影矩阵 $P$，验证 $P^2 = P$、$P^{\mathsf T} = P$、$\operatorname{tr} P = 1$、$\det P = 0$（后两条与"特征值恰为 1、0"的关系？）。
7. （最小二乘） 用过原点直线 $y = ct$ 拟合数据 $(-1,-1.5), (0,0.3), (1,0.9), (2,2.3)$：写出正规方程、解出 $c$、计算各点残差并验证残差向量与 $(t_i)$ 列向量正交（内积为零）。
8. （证明） 证明三角不等式：$\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$。（平方展开后用柯西一施瓦茨估计交叉项。）几何上这对应"三角形两边之和大于第三边"。
9. （深入：QR） 对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 做施密特正交化并写出 $A = QR$ 分解（$Q$ 正交、$R$ 上三角），验证 $QR = A$。
10. （思考/编程） 修改演示 3：换一组更分散的数据，或改用带截距模型 $y = ct + d$（此时模型子空间是二维平面，正规方程是 2×2 方程组）——观察最优直线如何变化。再思考：傅里叶级数取前一项（常数项 $a_0$）是什么？（$f$ 在常函数方向的投影 = 平均值。）

8. 对称矩阵、二次型与 SVD（进阶）

终章处理两类"结构最优"的矩阵。对称矩阵（$A^{\mathsf T} = A$）是特征值理论的甜点区：谱定理保证它总能被正交矩阵对角化——主轴不仅存在而且互相垂直，变换 = 沿正交主轴的独立伸缩。一般矩阵没有这份福气（剪切不可对角化、旋转没有实特征向量），但奇异值分解（SVD） 补上了最后的拼图：任何矩阵都能分解成"旋转—伸缩—旋转"，输入输出各有一组正交主轴。本章把全书工具用到极限——谱定理的证明需要第六章（特征值）+ 第七章（内积、转置恒等式）联手；SVD 的构造需要第四章（行列式）判可逆、第五章（像与核）定结构；最后的 PCA 应用连接统计与数据科学。

1. 谱定理

1. 对称矩阵的特征值是实数

定理（实谱性） 实对称矩阵的特征值都是实数。（对比第六章：旋转矩阵对称吗？不——它有复特征值，而对称性排除了这种可能。）

证明（需暂时进入复数域）：设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{z}$ 是复特征向量（分量可复）。记 $\bar{\mathbf{z}}$ 为逐分量共轭。由 $A\mathbf{z} = \lambda\mathbf{z}$，两侧左乘 $\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}$：

$$\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A\mathbf{z} = \lambda\,\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}\mathbf{z}.$$

关键观察一：$\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}\mathbf{z} = |z_1|^2 + |z_2|^2$ 是正实数（分量非零）。关键观察二：$\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A\mathbf{z}$ 是实数——因为（$A$ 实对称，$\bar A = A$）

$$\overline{\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A\mathbf{z}} = \mathbf{z}^{\mathsf T}A\bar{\mathbf{z}} = (\mathbf{z}^{\mathsf T}A\bar{\mathbf{z}})^{\mathsf T} = \bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\mathbf{z} = \bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A\mathbf{z},$$

依次用了共轭规则、转置不改变一阶数（标量）、对称性。于是 $\lambda = (\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}A\mathbf{z})/(\bar{\mathbf{z}}^{\mathsf T}\mathbf{z})$ = 实数/正实数 = 实数。$\blacksquare$

通俗地说：对称性迫使特征方程的判别式 $(a+d)^2 - 4(ad - b^2) = (a - d)^2 + 4b^2 \ge 0$（直接计算！）——复根被对称性排除。几何上：对称变换不含旋转成分，主轴是真实的直线。（上述复数证明的价值在于它对任何维数成立，判别式论证只是二维幸运。）

2. 特征向量互相正交

定理（正交主轴） 属于对称矩阵不同特征值的特征向量互相垂直。

证明：设 $A\mathbf{u} = \lambda_1\mathbf{u}$、$A\mathbf{v} = \lambda_2\mathbf{v}$（$\lambda_1 \neq \lambda_2$）。用第七章转置恒等式与对称性：

$$\lambda_1\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle\lambda_1\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle A\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u}, A^{\mathsf T}\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u}, A\mathbf{v}\rangle = \lambda_2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle.$$

故 $(\lambda_1 - \lambda_2)\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0$；特征值不同迫使内积为零，即垂直。$\blacksquare$

通俗地说：这条证明是全书"数形合璧"的缩微景观：转置恒等式（第七章）+ 对称性（代数）+ 特征方程（第六章）三件工具拼出几何结论（垂直）。第六章埋的伏笔"对称矩阵的主轴互相正交"至此兑现。

3. 谱定理

定理（谱定理，二维版） 设 $A$ 实对称，则存在单位正交矩阵 $Q$（$Q^{\mathsf T}Q = I$）与对角阵 $\Lambda$ 使

$$A = Q\Lambda Q^{\mathsf T},\qquad \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$$

证明：由实谱性，特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 为实数。若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$：取对应特征向量并单位化得 $\hat{\mathbf{q}}_1, \hat{\mathbf{q}}_2$，它们正交（刚证），故 $Q = (\hat{\mathbf{q}}_1\; \hat{\mathbf{q}}_2)$ 是正交矩阵。第六章 3.1 节对角化结构给出 $AQ = Q\Lambda$；正交矩阵的逆是转置，故 $A = Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$。若 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$（重根）：记 $B = A - \lambda I = \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & d' \end{pmatrix}$（仍对称）。$A$ 的特征多项式为 $(\mu - \lambda)^2$，故 $B$ 的特征多项式为 $\mu^2$，比较系数得 $a' + d' = 0$（迹为零）且 $a'd' - b'^2 = 0$（行列式为零）。代入 $d' = -a'$：$-a'^2 - b'^2 = 0$，即 $a'^2 + b'^2 = 0$，迫使 $a' = b' = 0$，进而 $d' = 0$，故 $B = O$、$A = \lambda I$——已经是数量矩阵（对角阵），取任意正交 $Q$（如 $I$）均满足 $A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$。（与第六章对照：对称性把"重根 ⟹ 只有半套主轴"的剪切式悲剧排除在外——重根时对称矩阵必为数量矩阵，天然对角。）$\blacksquare$

通俗地说（图 8-1）：对称矩阵 = 沿一组互相垂直的主轴独立伸缩。单位圆被对称矩阵映成椭圆：长轴沿 $|\lambda|$ 大的特征方向、短轴沿小的，两轴互相垂直。对照第六章图 6-3（对角化的一般图像：主轴斜交）：对称性是"主轴正交"的充要条件——它排除了剪切类的纠结动作。谱定理是线性代数的珠峰：任何对称矩阵，无论初始坐标多乱，都藏着一套正交的"天然坐标系"。统计学（协方差）、物理学（量子力学的可观测量）、几何学（二次曲面的主轴）共享这同一条定理。

2. 二次型

1. 定义与矩阵表示

定义（二次型） 二次齐次多项式

$$q(x, y) = a x^2 + 2bxy + d y^2$$

称为二次型。用对称矩阵改写：

$$q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x},\qquad A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix},$$

（展开验证：$a x^2 + bxy + byx + d y^2 = ax^2 + 2bxy + dy^2$。）交叉项的系数被对称地平分给两个非对角元——每个二次型天然对应一个对称矩阵，谱定理因此自动适用。

几何图像：把 $z = q(x, y)$ 画成三维曲面（碗、谷、鞍），二次型刻画"弯曲的方向与强度"。

2. 主轴定理：换到主轴坐标系

定理（主轴定理） 设 $A$ 对应二次型 $q$，$A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$ 是谱分解。做正交变量替换 $\mathbf{x} = Q\mathbf{y}$，则

$$q = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = \mathbf{y}^{\mathsf T}(Q^{\mathsf T}AQ)\mathbf{y} = \mathbf{y}^{\mathsf T}\Lambda\mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2.$$

交叉项消失，只剩纯平方项。（中间一步用了 $Q^{\mathsf T}AQ = \Lambda$，即谱分解的改写。）

通俗地说：二次曲线（如 $5x^2 + 4xy + 5y^2 = 1$）在原坐标里看不出形状；旋转坐标轴对齐主轴（正交替换正是旋转或反射，第七章），方程变成 $3y_1^2 + 7y_2^2 = 1$（此处特征值为 3、7）——一眼认出是椭圆，主轴沿特征方向、半轴长 $1/\sqrt{\lambda}$。解析几何的"转轴化简"就是谱定理。

3. 正定性：能量语言

定义（定性分类） 对一切 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$：

类别	条件	曲面 $z = q$ 的形状	特征值
正定	$q(\mathbf{x}) > 0$	碗（唯一最低点）	$\lambda_1, \lambda_2 > 0$
半正定	$q \ge 0$（可取零）	谷底平底	$\lambda \ge 0$
不定	有正有负	鞍面（一个方向上翘、一个方向下陷）	一正一负
负定	$q < 0$	倒碗	$\lambda < 0$

定理（正定的两个判据） 下列等价：① $q$ 正定；② $A$ 的特征值全为正；③ 顺序主子式全正：$a > 0$ 且 $ad - b^2 > 0$。

证明（① $\iff$ ②）：主轴定理中取 $\mathbf{y} = \mathbf{e}_i$（即 $\mathbf{x} = Q\mathbf{e}_i =$ 第 $i$ 个主轴方向）：$q = \lambda_i$。若某 $\lambda_i \le 0$，该方向上能量非正，与正定矛盾；反之若两特征值皆正，则 $q = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 > 0$（除非 $\mathbf{y} = \mathbf{0}$，即 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$）。（② $\iff$ ③：$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A = a + d$、$\lambda_1\lambda_2 = \det A = ad - b^2$（第六章韦达）；两根皆正 $\iff$ 和与积皆正。但③中要求的是 $a > 0$ 而非 $a + d > 0$——更细的论证：若 $\det > 0$ 则两根同号，此时 $a$ 的符号（当 $a \neq 0$ 时由配平方 $q = a(x + \tfrac{b}{a}y)^2 + (d - \tfrac{b^2}{a})y^2$，第二项系数 $= \tfrac{ad - b^2}{a}$ 与 $a$ 同号当 $\det > 0$）决定全部符号：$a > 0$ 且 $\det > 0$ 即正定。$a = 0$ 时 $\det = -b^2 \le 0$，排除。）$\blacksquare$

通俗地说：二次型是"能量函数"：把它想象成山顶地形图，正定 = 四面八方都向上翘（碗底稳定，小球滚回中心）；不定 = 鞍面（一个方向滑下去、一个方向爬上去，马鞍点）。特征值逐方向给出"坡度"：主轴方向上能量恰为 $\lambda_i \|\mathbf{x}\|^2$。优化算法（梯度下降会不会收敛）、统计学（协方差会不会退化）、微分方程（平衡点稳不稳定）的第一步都是判断定性。

4. 负特征值：翻转的主轴

图 8-3 演示不定矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$（特征值 5 与 -1，主轴 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$）：沿红轴拉伸 5 倍照常；沿蓝轴，特征向量被反向送出（$B\mathbf{v}_2 = -\mathbf{v}_2$，紫色箭头指向蓝色箭头的反方向）——负特征值 = 该主轴上的镜像翻转。二次型 $q = 2x^2 + 6xy + 2y^2$ 沿两轴分别取值 $5t^2$ 与 $-t^2$：一正一负，鞍面坐实。（对比第四章图 4-3 的整面翻转：$\det = -1$ 只说"总定向反了"，谱分解进一步指出翻转发生在哪根轴、程度多大。）

3. 奇异值分解（SVD）

1. 动机：一般矩阵缺什么

谱定理只属于对称矩阵。一般矩阵可能：特征向量不垂直（如 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.1 & 1 \end{pmatrix}$），甚至没有实特征向量（旋转）。但第三章起我们就知道：任何可逆矩阵把圆变成椭圆（线性映射送直线为直线、保平行）。椭圆天然有互相垂直的主轴——问题只是：输入端的哪两个垂直方向被送到输出端的主轴？这就是 SVD 要回答的。

2. 途经 $A^{\mathsf T}A$：把不对称化为对称

命题 对任意实矩阵 $A$：$A^{\mathsf T}A$ 是对称半正定矩阵。

证明：对称：$(A^{\mathsf T}A)^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}A$。半正定：对任意 $\mathbf{x}$，$\mathbf{x}^{\mathsf T}A^{\mathsf T}A\mathbf{x} = (A\mathbf{x})^{\mathsf T}(A\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2 \ge 0$（范数的平方，第七章）。$\blacksquare$

通俗地说：$A$ 自己不一定对称，但 $A^{\mathsf T}A$（“先做 $A$ 再配对求能量”）永远对称半正定——谱定理适用！它的特征值 $\mu_i \ge 0$，记 $\sigma_i = \sqrt{\mu_i}$ 称为 $A$ 的奇异值。

关键事实链（设 $A$ 可逆，记 $A^{\mathsf T}A$ 的单位特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$，特征值 $\sigma_1^2 \ge \sigma_2^2 > 0$）：

（i）$\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_2$（对称矩阵的正交主轴）；

（ii）$A\mathbf{v}_1 \perp A\mathbf{v}_2$（验证：$\langle A\mathbf{v}_1, A\mathbf{v}_2\rangle = \mathbf{v}_1^{\mathsf T}A^{\mathsf T}A\mathbf{v}_2 = \sigma_2^2\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle = 0$——转置恒等式再次立功）；

（iii）$\|A\mathbf{v}_i\| = \sigma_i$（同法：$\|A\mathbf{v}_i\|^2 = \sigma_i^2$）。

结论：输入端的正交对 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 被送到输出端的正交对 $A\mathbf{v}_1, A\mathbf{v}_2$，长度变成 $\sigma_1, \sigma_2$！单位圆（由所有单位向量组成）被映成椭圆，主轴方向恰是 $A\mathbf{v}_i$ 的方向、半轴长恰为 $\sigma_i$。

3. 分解定理

定理（奇异值分解，二维版） 设 $A$ 可逆，则存在正交矩阵 $U, V$ 与对角阵 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1,\; \sigma_2)$（$\sigma_1 \ge \sigma_2 > 0$）使

$$A = U\Sigma V^{\mathsf T}.$$

构造证明：如上取 $V = (\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2)$（输入端正交基）。定义 $\mathbf{u}_i = A\mathbf{v}_i/\sigma_i$（单位化后的像），由（ii）它们正交，故 $U = (\mathbf{u}_1\;\mathbf{u}_2)$ 是正交矩阵。则

$$AV = (A\mathbf{v}_1\; A\mathbf{v}_2) = (\sigma_1\mathbf{u}_1\; \sigma_2\mathbf{u}_2) = U\Sigma,$$

右乘 $V^{\mathsf T}$（正交矩阵的逆）得 $A = U\Sigma V^{\mathsf T}$。$\blacksquare$

通俗地说（图 8-2）：SVD 把任何矩阵的动作拆成三段广播体操：$V^{\mathsf T}$：转到输入主轴（旋转）；$\Sigma$：沿两轴各自伸缩 $\sigma_1, \sigma_2$ 倍；$U$：转到输出主轴（再旋转）。没有剪切、没有纠结——旋转和伸缩足以描述一切可逆线性映射！与谱定理的对比：谱分解是"一套坐标系自转自伸缩"（要求对称），SVD 是"输入一套轴、输出一套轴，中间只伸缩"（不要求任何特殊条件）。代价是用了两个正交矩阵而非一个。

（对称正定矩阵是两者重合的特例：$A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$ 本身就是 $U = Q$、$\Sigma = \Lambda$、$V = Q$ 的 SVD。）

4. 奇异值的信息论意义（深入）

量	公式	含义
最大奇异值	$\sigma_1 = \max_{|\mathbf{x}| = 1}|A\mathbf{x}|$	变换的最大放大倍数（算子范数）
最小奇异值	$\sigma_2 = \min_{|\mathbf{x}| = 1}|A\mathbf{x}|$	最小放大倍数（离退化有多远）
条件数	$\kappa = \sigma_1/\sigma_2$	数值稳定性：越大越病态
行列式	$\det A = \pm\sigma_1\sigma_2$	缩放因子 = 奇异值之积（符号由 U、V 定向决定）

（$\sigma_1$ 的最大值刻画：$\|A\mathbf{x}\|^2$ 在单位圆上的最大值 = $\mathbf{x}^{\mathsf T}A^{\mathsf T}A\mathbf{x}$ 的最大值 = 主轴定理下的最大特征值 $\sigma_1^2$，在 $\mathbf{x} = \mathbf{v}_1$ 处取到。）"保留前 $k$ 个奇异值、丢弃其余"就是低秩近似：图像压缩（JPEG 的一部分）、推荐系统、噪声消减的统一原理——奇异值按重要性排队，这是 SVD 被誉为"线性代数的瑞士军刀"的原因。

5. 伪逆与最小范数解（深入）

不可逆矩阵（或高矮矩阵）的方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 无解或有无穷多解。第七章的最小二乘解决"无解"（找最近似），但无穷多解时选哪个？最小范数解：离原点最近的那个。SVD 给出统一答案：把 $A = U\Sigma V^{\mathsf T}$ 中 $\Sigma$ 的非零对角元取倒数、零元保持零，得到 $\Sigma^+$，定义伪逆

$$A^+ = V\Sigma^+U^{\mathsf T},\qquad \mathbf{x}^* = A^+\mathbf{b}.$$

它同时是：$\mathbf{b} \in \operatorname{im} A$ 时的（最小范数）精确解，与 $\mathbf{b} \notin \operatorname{im} A$ 时的（最小范数）最小二乘解——把第五章解集结构与第七章投影定理焊接成一件工具。几何：先旋转回主轴坐标、只在"未被压扁"的方向上做除法、再转回去。

6. 应用：主成分分析（PCA）

统计学的中心问题之一：高维数据的"主要方向"。设数据中心化后为 $\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_m \in \mathbb{R}^2$，定义协方差矩阵

$$S = \frac{1}{m}\sum_i \mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{\mathsf T}$$

（对称半正定：$\mathbf{w}^{\mathsf T}S\mathbf{w} = \tfrac{1}{m}\sum_i\langle\mathbf{w},\mathbf{x}_i\rangle^2 \ge 0$——外积之和，能量语言）。PCA 定理：数据在方向 $\mathbf{w}$（单位）上的方差 $\mathbf{w}^{\mathsf T}S\mathbf{w}$ 的最大值 = $S$ 的最大特征值 $\lambda_1$，在 $\mathbf{w} =$ 主特征向量处取到（证明即 3.4 节 $\sigma_1$ 的最大值刻画，把 $A^{\mathsf T}A$ 换成 $S$：主轴定理下 $\mathbf{w}^{\mathsf T}S\mathbf{w} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 \le \lambda_1$）。

通俗地说（图 8-4）：沿 $(1,1)$ 拉长的点云（橙色点），协方差矩阵的谱分解自动找出红色主轴（数据最散开的方向）与蓝色副轴（最薄的方向）。把坐标轴转到主轴上，第一坐标承载最多的信息（方差），第二坐标多半是噪声——降维 = 保留前几个主成分 = 数据版的低秩近似。人脸识别、基因数据、金融风险因子，背后都是同一条谱定理。

4. 演示图像

本章演示程序位于 src/chapter8，生成图像位于 output/chapter8：

图号	文件	内容
图 8-1	fig_8_1_spectral_circle.ppm	谱定理：圆 → 椭圆，主轴沿特征方向
图 8-2	fig_8_2_svd_circle.ppm	SVD：输入/输出各一组正交主轴
图 8-3	fig_8_3_indefinite.ppm	负特征值 = 主轴翻转
图 8-4	fig_8_4_pca.ppm	PCA：点云的主方向

图 8-1（fig_8_1_spectral_circle.ppm）：对称矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 把单位圆（灰）映成橙色椭圆：长半轴 3 沿红轴 $(1,1)$（$\lambda = 3$）、短半轴 1 沿蓝轴 $(1,-1)$（$\lambda = 1$）——两轴垂直，椭圆端点恰是单位特征向量被拉伸后的像。

图 8-2（fig_8_2_svd_circle.ppm）：非对称矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$：单位圆（灰）→ 橙色椭圆。蓝箭头：输入端正交方向 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$（$A^{\mathsf T}A$ 的特征向量）；红箭头：输出端正交方向 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2$；两轴长度比 = 奇异值比。非对称 ≠ 纠结：旋转—伸缩—旋转三段即可描述。

图 8-3（fig_8_3_indefinite.ppm）：不定矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$：红轴拉伸 5 倍照常；蓝轴上特征向量（蓝）的像（紫）指向反方向——$\lambda = -1$ 的翻转效应，鞍面的直观前身。

图 8-4（fig_8_4_pca.ppm）：沿 $(1,1)$ 拉长的点云（橙点）：协方差矩阵的谱分解给出红色主轴（方差最大方向）与蓝色副轴——PCA 不需要任何先验知识，纯靠线性代数从数据中"长"出坐标系。

5. 小结

概念	代数形式	几何形象
实谱性	对称 $\Rightarrow$ 特征值全实	无旋转成分（图 8-1）
正交主轴	不同 $\lambda$ 的特征向量垂直	主轴十字（图 8-1、8-2）
谱定理	$A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$	沿正交主轴独立伸缩
二次型	$q = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}$	能量曲面：碗 / 谷 / 鞍
主轴定理	正交替换消交叉项	转轴化简二次曲线
正定判据	特征值全正 $\iff a > 0,\, \det > 0$	碗底稳定，小球归心
负特征值	$\lambda < 0$	该主轴镜像翻转（图 8-3）
SVD	$A = U\Sigma V^{\mathsf T}$	旋转—伸缩—旋转（图 8-2）
奇异值	$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^{\mathsf T}A)}$	主轴放大倍数，按重要性排队
伪逆	$A^+ = V\Sigma^+U^{\mathsf T}$	只在未压扁方向做除法
PCA	协方差谱分解	数据的主方向（图 8-4）

三条主线：

1. 对称性买来正交性：谱定理——对称矩阵永远可正交对角化，主轴十字天然垂直；能量（二次型）、统计（协方差）、几何（二次曲面主轴）三问一答。
2. SVD 补全一切矩阵：非对称矩阵虽然主轴斜交甚至缺失，但输入输出两端各有一套正交轴，中间只剩伸缩——旋转与伸缩是线性映射的完整音节表；奇异值按重要性排队，支撑压缩与降维。
3. 全书一条龙：向量 → 基与坐标 → 矩阵与方程组 → 行列式 → 抽象空间 → 特征值 → 内积与投影 → 谱定理与 SVD。每一章的工具都在终章会师：转置恒等式、秩一零化度、柯西一施瓦茨、主轴定理……最后一题（习题 10）将请你自己把这条龙再走一遍。

6. 习题

1. （计算） 求对称矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的谱分解（特征值、单位特征向量、$Q$、$\Lambda$），并写出对应二次型的主轴形式。
2. （主轴定理） 化简二次曲线 $5x^2 + 4xy + 5y^2 = 1$：求旋转角、主轴方程、曲线类型与半轴长（答案：特征值 3 与 7，椭圆 $3y_1^2 + 7y_2^2 = 1$）。
3. （证明） 另证谱定理的重根情形：设对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ 的特征多项式有重根 $\lambda$（即判别式 $(a - d)^2 + 4b^2 = 0$）。由实数的非负性证明 $a = d$ 且 $b = 0$，即 $A = \lambda I$。（这正是正文证明的另一种看法：对称矩阵的重根情形必为数量矩阵，剪切式的"半套主轴"被对称性排除。）再举例：非对称矩阵的重根情形（如剪切）为什么逃不过半套主轴的命运？
4. （正定性） 判断下列二次型的定性（用两个判据各判一次，互相对照）：
   (a) $2x^2 + 2xy + 2y^2$；
   (b) $x^2 + 4xy + y^2$；
   © $x^2 - 2xy + y^2$（半正定？写出取零的方向）。
5. （证明） 证明：$A$ 正定 $\iff$ 存在可逆矩阵 $B$ 使 $A = B^{\mathsf T}B$。（"→"用谱分解 $B = Q\sqrt\Lambda Q^{\mathsf T}$；"←"用 $\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = \|B\mathbf{x}\|^2$。这说明正定矩阵是"能量 = 长度平方"的矩阵。）
6. （SVD 计算） 求 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的 SVD：先算 $A^{\mathsf T}A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$，求其特征值（$\sigma_1^2, \sigma_2^2$，即 $(7 \pm 3\sqrt 5)/2$）与特征向量得 $V$、$\Sigma$，再算 $U = AV\Sigma^{-1}$（数值验证各矩阵满足定义）。
7. （证明） 证明奇异值的极值刻画：$\sigma_1 = \max\{\|A\mathbf{x}\| : \|\mathbf{x}\| = 1\}$（在 $\mathbf{v}_1$ 处取到）与 $\sigma_2 = \min\{\dots\}$。由此证明：可逆矩阵满足 $\sigma_2\|\mathbf{x}\| \le \|A\mathbf{x}\| \le \sigma_1\|\mathbf{x}\|$——任何方向的放大倍数都被两个奇异值夹住。
8. （伪逆） 对秩 1 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$（第三章图 3-3）：写出其 SVD（提示：先算 $A^{\mathsf T}A = 5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$，其特征值为 $0, 25$，故非零奇异值 $\sigma_1 = 5$），求伪逆 $A^+$，并验证 $A^+\mathbf{b}$ 对 $\mathbf{b} = (1,2)$ 给出最小范数解、对 $\mathbf{b} = (1,0)$ 给出最小范数最小二乘解。
9. （PCA） 对数据 $(1,2), (2,3), (3,3), (4,5), (5,4)$（先中心化减去均值）：求协方差矩阵、主特征向量（主成分方向）与两个特征值（主/副方差）。把数据投到主轴上，验证投影方差 = $\lambda_1$。
10. （总结） 全书回顾：用一页纸回答——判别式/行列式 $D$ 从第一章到第八章依次扮演了哪些角色？（面积、共线判官、可逆性、缩放因子、特征方程系数、奇异值的平方……）谱定理与 SVD 分别需要前几章的哪些定理作为零件？如果继续前进，你觉得下一个主题应当是什么（高维矩阵？复矩阵？张量？），为什么？

7. 结语：八条线索，一个主题

从一支箭头出发，到椭圆的主轴收尾，八条线索贯穿全书：

1. 第一章（向量）：加法与数乘——一切的起点；
2. 第二章（无关与基）：恰好够用的方向；
3. 第三章（矩阵）：线性映射的账本，列是基向量的去向；
4. 第四章（行列式）：一个数浓缩面积、定向与可逆性；
5. 第五章（线性空间）：公理化杠杆，维数是身份证；
6. 第六章（特征值）：主轴与指纹，迭代的命运；
7. 第七章（内积）：投影即最优，正交即免解；
8. 第八章（谱定理与 SVD）：旋转与伸缩——线性映射的最终音节表。

而唯一的主题只有一句：线性 = 可分解。线性组合把向量拆开（第一、二章），矩阵把变换拆成列的搬运（第三章），行列式把整体效果拆成一个数（第四章），基把空间拆成独立方向（第五、六章），正交基把方向拆到互不干扰（第七章），谱定理与 SVD 把任意线性映射拆成旋转与伸缩（第八章）。掌握"拆"，就掌握了线性代数的全部野心——也是它统治现代科学（机器学习、信号处理、量子力学、统计）的原因：凡能线性化的世界，皆可分解、皆可计算、皆可理解。

后续学习路线：矩阵的 LU/QR/特征值算法（数值线性代数）、复向量空间与若尔当标准形（高等代数）、张量与多线性代数（微分几何、深度学习）——它们都从这八章的某一句话出发。祝旅途愉快。